高等数学引例：逼近曲边梯形面积的近似值

（1）曲边梯形的面积问题

曲边梯形是指这样的封闭图形，它有三条直线边，其中两条互相平行；第三条与前两条垂直，称为底边；第四条边是一段曲线弧，叫作曲边，这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多交于一点，如图5.1所示.

设函数y=f（x）（f（x）≥0）在区间［a，b］上连续，求由曲线y=f（x），直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形（图5.2）的面积A.

如果f（x）是常数，曲边梯形就是矩形，这时计算面积有公式：矩形面积=底×高.但是现在的f（x）≠常数，曲边梯形在底边上各点处的高f（x）在区间［a，b］上随着x的改变而不断变化，故它的面积不能直接用矩形面积公式来计算.然而，由于函数y=f（x）在区间［a，b］上是连续的，在［a，b］上一个很小的区间上，f（x）的变化也很小，可以近似地视为不变.根据此思路，可用如下的方法来计算曲边梯形的面积：

图5.1

图5.2

1）分割

在区间［a，b］内任意插入n-1个分点

a=x0 ＜x1 ＜x2 ＜… ＜xn-1 ＜xn =b

将区间［a，b］分成n个小区间［xi-1，xi］（i=1，2，…，n），记小区间的长度为

Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n）

用直线x=xi（i=1，2，…，n-1）把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，记窄曲边梯形的面积依次为ΔAi（i=1，2，…，n），于是

2）近似

由于f（x）在区间［a，b］上是连续的，从而f（x）在小区间［xi-1，xi］上的变化不大，可以近似视为不变.因此，在小区间［xi-1，xi］上任取一点ξi（xi-1≤ξi≤xi），用以小区间［xi-1，xi］为底、f（ξi）为高的小矩形的面积近似代替对应的第i个窄曲边梯形的面积，即

ΔAi≈f（ξi）Δxi （i=1，2，…，n）

3）求和

把n个窄曲边梯形面积的近似值相加就得到所求曲边梯形面积A的近似值，即

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4）逼近

容易看出，当区间［a，b］分得越细，也就是每个小区间的长度越短时，式（5.1）的近似程度就越高.因此，为了保证所有小区间的长度都无限缩小，我们要求小区间的长度中的最大值趋于零，即记λ=max｛Δx1，Δx2，…，Δxn｝，并令λ→0.当λ→0时（这时n→∞），取式（5.1）右端的极限就得到曲边梯形面积A的精确值，即

（2）变速直线运动的路程

设某物体作变速直线运动，已知速度v=v（t）（v（t）≥0）是时间t的连续函数，求从时刻t=T1到t=T2时段内物体所经过的路程S.

如果物体作匀速直线运动，那么计算路程有公式：路程=速度×时间.但是，在此问题中，物体是作变速直线运动，速度v（t）是随时间t而变化的.因此，所求路程不能直接按匀速直线运动时的路程公式来计算.然而，由于速度函数v（t）是连续的，当时间很短时，速度v（t）的变化也很小.因此，在很短的一段时间内，变速直线运动可以近似视为匀速直线运动.根据这一思路，可以用如下方法来计算变速直线运动的路程：

1）分割

在时间间隔［T1，T2］内任意插入n-1分个点

T1 =t0 ＜t1 ＜t2 ＜… ＜tn-1 ＜tn =T2

将［T1，T2］分成n个小段时间［ti-1，ti］（i=1，2，…，n），各小段时间的长度为Δti=ti-ti-1（i=1，2，…，n）.

记各小段时间内物体经过的路程依次为ΔSi（i=1，2，…，n），则

2）近似

由于速度v（t）在时间间隔［T1，T2］上是连续的，于是在各小段时间［ti-1，ti］上速度v（t）的变化不大，可以近似视为匀速运动.因此，在各小段时间［ti-1，ti］上任取一时刻i（ti-1≤ i≤ti）（i=1，2，…，n），以 i时刻的速度v（i）近似代替［ti-1，ti］上各时刻的速度，于是在小段时间［ti-1，ti］上经过的路程ΔSi就近似于v（i）Δti，即

ΔSi≈v（i）Δti（i=1，2，…，n）

3）求和

把各小段时间上经过的路程的近似值加起来就得到整个时间间隔［T1，T2］上路程S的近似值，即

4）逼近

显然，各小段时间的长度越短，式（5.2）的近似程度就越高.为了保证各小段时间的长度都无限缩小，记λ=max｛Δt1，Δt2，…，Δtn｝，当λ→0时，取式（5.2）右端的极限，就得到所求路程S的精确值，即