高等数学2版-有理函数积分

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即如下形式的函数：

其中，m，n皆为自然数.当n≥m时，有理函数是假分式；当n＜m时，有理函数是真分式.利用多项式的除法，可以把假分式化为多项式与真分式之和，因而只需讨论真分式的积分.

例如

代数学中有下面的结论：

①如果Q（x）=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm 为实系数多项式，则Q（x）总可分解为一些实系数的一次因子与二次因子的乘幂之积.

即

其中α，β，λ，μ都是自然数，且二次因子x2+px+q，…，x2+rx+s不能再分解为实系数的一次因子，即p2-4q＜0，r2-4s＜0成立.

②如果Q（x）的分解式如式（4.4），则有理真分式可以唯一地分解成为部分分式的和.

其中，Ai，…，Bi，Mi，Ni，…，Ri，Si等都是待定常数，从下面的例子中可看到，这些常数可由待定系数法求得.

对于式（4.5）应注意下列两点：

①分母Q（x）中如果有因子（x-a）k，那么分解后有下列k个部分分式之和：

其中，A1，A2，Ak都是待定常数，特别地，如果k=1，那么分解后有

例4.64 化真分式为部分分式.

解 设（A，B，C为待定系数）

=

两端去分母以后，有

A（x-2）2+B（x+1）+C（x+1）（x-2）=x-5(www.xing528.com)

比较等式两边同次幂的系数，得

解得

所以

②分母Q（x）中如果有因子（x2+px+q）k，其中p2-4q＜0，那么分解后有下列k个部分分式之和：

其中，Mi，Ni等都是常数，特别地，如果k=1，那么分解后有

其中A，B，C可用待定系数法求得.具体做法如下：

两端去分母后，得

比较式（4.6）两端x的同次幂的系数，有

解得

于是

下面举例说明有理真分式的积分.

去分母以后，得A（x2-2x+2）+x（Bx+C）=x+1.

比较等式两边x的同次幂的系数，得

从前面的几个例子中得知：当有理真分式函数分解为部分分式之和以后，会出现两类函数的积分.现讨论如下：

而积分在上一节中已求出.

可以证明：有理函数的原函数都是初等函数.