定义4.1 设f（x）是定义在区间I上的函数，若对任意x∈I，都有
F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，
则称函数F（x）为f（x）在区间I上的原函数.
例4.1 ①cosx在（-∞，+∞）内是-sinx的原函数，因（cosx）′=-sinx.
②lnx在（0，+∞）内是
的原函数，因（lnx）′=
.
③ln（-x）在（-∞，0）内是
的原函数，因［ln（-x）］′=
.
关于原函数，提出如下几个问题：
①f（x）应具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在？这个问题将在下一章中讨论，在此先给出结论：如果f（x）在某一区间内连续，那么在该区间内它的原函数一定存在.
②如果f（x）有原函数，那么它有多少原函数？显然，如果F（x）是f（x）的原函数，即F′（x）=f（x），那么函数簇F（x）+C（C为任意常数）也一定是f（x）的原函数.
定理4.1 如果在区间（a，b）内，函数F（x）为f（x）的一个原函数，则F（x）+C是f（x）的全体原函数，其中C为任意常数.
证明 由已知F′（x）=f（x），从而［F（x）+C］′=F′（x）=f（x），所以F（x）+C是f（x）的原函数.
设Φ（x）是f（x）的任意一个原函数，即Φ′（x）=f（x）.因为F′（x）=f（x），所以有(www.xing528.com)
［Φ（x）-F（x）］′=Φ′（x）-F′（x）=f（x）-f（x）=0
而导数恒为零的函数必为常数，所以Φ（x）-F（x）=C，即Φ（x）=F（x）+C.
这一方面说明了一个函数的任意两个原函数之间相差一个确定的常数；另一方面，也证明了F（x）+C是f（x）的全体原函数.
下面引进不定积分的定义：
定义4.2 定义在区间I上的函数f（x），若存在原函数F（x），则称f（x）为可积函数，并将f（x）的全体原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记作∫f（x）dx，即
其中∫称为积分符号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，而x称为积分变量，C称为积分常数.
由定义4.2，可得
这说明，积分与微分在不计任意常数C时，互为逆运算.
例4.2 求∫secxtanxdx.
解 因为（secx）′=secxtanx，即secx是secxtanx的一个原函数.故
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