函数单调性判断方法-高等数学

关于函数的单调性，在第1章中已经给出了严格的定义.那么如何判断一个函数的单调性呢？可以根据定义来加以判断，但相对来说比较复杂.现在有了导数以及中值定理的相关知识，利用导数研究函数的性态成为一种必然.

由导数的几何意义，若函数y=f（x）在（a，b）内可导，也就是函数曲线在（a，b）上每点存在切线.若函数曲线单增，如图3.8所示.几何直观可明显看到，曲线上任意点处的切线与x轴正向的夹角α为锐角（在个别点为零，如f′（ξ）=0），即f′（x）=tanα≥0.若函数曲线单减，如图3.9所示，曲线上任意点处的切线与x轴正向的夹角α为钝角（在个别点为零，如f′（ξ）=0），即f′（x）=tanα≤0.

图3.8

图3.9

可见，函数的单调性与导数的符号有关.因此，有下面结论：

定理3.6 若f（x）在［a，b］连续，在（a，b）可导，则f（x）在［a，b］单调增加（或单调减少）的充分必要条件为在（a，b）内f′（x）≥0（或f′（x）≤0）.

证明 就单调减少加以证明，单调增加类似可证.

（1）必要性

已知f（x）在［a，b］单调减少，则∀x1，x2∈［a，b］，x1＜x2，有f（x1）≥f（x2），∀x0∈（a，b），由f（x）在（a，b）可导，故f（x）在x0处可导.由导数定义

f（x）在［a，b］单调减少，则

所以

f′（x0）≤0

由x0的任意性，在（a，b）内，有f′（x）≤0.

（2）充分性

已知在（a，b）内，f′（x）≤0.在［a，b］上任取两点x1，x2（设x1＜x2），对函数f（x）在［x1，x2］上应用拉格朗日中值定理，得

f（x2）-f（x1）=f′（ξ）（x2-x1），a≤x1 ＜ξ＜x2≤b

式中，x2-x1＞0，f′（ξ）≤0，所以f（x2）-f（x1）≤0，即f（x1）≥f（x2），故函数y=f（x）在［a，b］上单调减少.

这是关于函数单调性的充要条件，特别地，关于函数的严格单调性有充分条件.

推论3.4 若f（x）在［a，b］连续，在（a，b）可导，且f′（x）不变号，那么：①若f′（x）＞0，则f（x）在［a，b］严格单调增加；②若f′（x）＜0，则f（x）在［a，b］严格单调减少.

注意：这仅是充分条件，反过来不成立.例如，函数y=x3，它是一个严格单增函数，但不满足f′（x）＞0.

用“↗”表示单调增加，用“↘”表示单调减少.

例3.17 判定函数f（x）=arctanx-x的单调性.

解 函数的定义域为对于任意x≠0，有f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，+∞）单减.

注意，单调函数一定要指明区间.

例3.18 讨论f（x）=3x-x3的单调性.(www.xing528.com)

解 函数的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=3-3x2=3（1+x）（1-x）.

令f′（x）=0，得驻点x1=-1，x2=1，将（-∞，+∞）分为（-∞，-1），（-1，1），（1，+∞），列表如下：

（-∞，-1］，［1，+∞）为单调减少区间，［-1，1］为单调增加区间.

当判断函数单调性时，首先找出函数在定义区间上的分界点，然后再根据判定法则判断.当然，分界点一般是使f′（x）=0的点，但如果有不可导点，那么不可导点也应算成分界点.

例3.19 求函数的单调区间.

解 函数定义域为（-∞，+∞）.当x≠0时当x=0时，函数的导数不存在，f（x）在（-∞，+∞）内无驻点.x=0，它将（-∞，+∞）分成（-∞，0）及（0，+∞），列表如下：

图3.10

（-∞，0］为单减区间，［0，+∞）为单增区间.图形如图3.10所示.

如果函数f（x）在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，确定函数f（x）单调区间的步骤是：

①求f′（x）；

②求f′（x）=0的根及f′（x）不存在的点（在定义域内）；

③将②中的点按从小到大的顺序插入定义域中得到单调区间.

例3.20 试证：当x＞0时，有

证明 先证sinx＜x.

令f（x）=sinx-x，f′（x）=cosx-1≤0，所以f（x）在［0，+∞）内单调减少，即当x＞0时，f（x）≤f（0）=0，即sinx-x≤0，故sinx≤x.等号仅在x=0时成立，所以sinx＜x.

下面证明

设=x-sinx＞0.故g′（x）在［0，+∞）内严格单调增加，而g′（0）=0.所以当x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，即g′（x）＞0.故g′（x）在［0，+∞）内严格单增，即当x＞0时，g（x）＞g（0）又g（0）=0.

所以g（x）＞0，即即

综上所述＜sinx＜x.

例3.21 若f（x）在［0，+∞）上连续，f（0）=0，f′（x）在（0，+∞）内单调增加.证明函数在（0，+∞）内单调增加.

证明 ∀x1，x2∈（0，+∞），不妨设x1＜x2

其中0＜η＜x1＜ξ＜x2

即F（x）在（0，+∞）内单调增加.