高等数学泰勒公式及其应用

前面讨论了利用导数进行近似计算的问题，当x→x0时，有近似公式

也就是说，当x→x0时，可用x的一个一次多项式p1（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）去近似表示函数f（x），且满足p1（x0）=f（x0），p′（x0）=f′（x0）.但是式子精确度并不高，它们产生的误差仅是一个关于自变量改变量的高阶无穷小o（x-x0），并且不知道这个高阶无穷小到底是多小，不能具体估算出误差的大小.那么人们自然想到，是否能用高次多项式来近似表达函数，以使其误差更小，并能估出误差大小呢？

设函数f（x）在含有x0的开区间内具有直到（n+1）阶导数，试找出一个关于（x-x0）的n次多项式

pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）2+… +an（x-x0）n

来近似表达f（x）.要求pn（x）在x0处的函数值及它的直到n阶导数在x0的值依次与f（x0），f′（x0），…，f（n）（x0）相等，即满足等式

pn（x0）=f（x0），pn′（x0）=f′（x0），pn″（x0）=f″（x0），…，pn（n）（x0）=f（n）（x0）

并且给出误差的具体表达式.

对pn（x）求各阶导数，然后分别代入以上等式，得

a0 =f（x0），1·a1 =f′（x0），2！a2 =f″（x0），…，n！an =f（n）（x0）

即得

将求得的系数a0，a1，a2，…，an代入pn（x），有

定理3.5( 泰勒（Taylor）中值定理) 设f（x）在含有x0的某个区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的连续导数，则对任一x∈（a，b），下式成立：

其中是x与x0之间的某个值.

这个式子称为f（x）按（x-x0）的幂展开的n阶泰勒公式，Rn（x）的表达式称为拉格朗日型余项.

证明 作辅助函数

由定理已知条件，有：φ（t）在区间［x0，x］或［x，x0］上连续，在区间（x0，x）或（x，x0）可导，且

再引进一个辅助函数

ψ（t）=（x-t）n+1

显然ψ（t）在［x0，x］或［x，x0］上连续，在（x0，x）或（x，x0）可导，且

ψ′（t）=-（n+1）（x-t）n

在（x0，x）或（x，x0）不为0，可见，φ（t），ψ（t）满足柯西中值定理的条件，有

所以

当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式.因此，泰勒中值定理可看成拉格朗日中值定理的自然推广.

由泰勒中值定理可知，以多项式pn（x）近似表达函数f（x）时，其绝对误差为如果对于某个固定的n，当x在开区间（a，b）内变动时总不超过一个常数M，则有估计

由此可见，当x→x0时，其误差是比（x-x0）n高阶的无穷小，即Rn（x）=o[（x-x0）n] ，此时Rn（x）称为皮亚诺型余项.这样，前面提出的关于误差大小的问题得到了圆满的解决.

在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式就可以写成

上式称为函数f（x）按（x-x0）的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式.

在泰勒公式中，如果令x0=0，则ξ在0与x之间，令ξ=θ·x（0＜θ＜1），泰勒公式变成比较简单的形式，即麦克劳林（Maclaurin）公式

由此得到近似公式误差估计相应地变成且，即当x→x0时Rn（x）=o（xn）.故带有皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式可写成为(www.xing528.com)

例3.10 写出函数f（x）=ex展开到n阶的麦克劳林公式.

解 由f′（x）=ex，f″（x）=ex，…，f（n）（x）=ex，有

所以代入麦克劳林公式，得

所以

特别地，x=1时，得到自然对数的底数

例3.11 求函数f（x）=sinx的n阶麦克劳林展开式.

解 因为

f（0）=0，f′（0）=1，f″（0）=0，f‴（0）=-1，f（4）（0）=0，…，它们顺序循环地取四个数0，1，0，-1，于是按公式得（令n=2m）

其中

如果取m=1，则得近似多项式sinx≈x，这时绝对误差为

如果m分别取2和3，则可得sinx的3次和5次近似多项式

其误差的绝对值依次不超过

例3.12 求函数y=cosx在x=1处的n阶泰勒展开式，并写出拉格朗日型余项.

解 f（x）=cosx，（cosx）（n）=cos（x+n·）（n=1，2，3，…），有

所以，代入泰勒公式，得

其中（x-1）n+1，ξ在1与x之间.

例3.13 求函数y=ln（1+x）的n阶麦克劳林展开式，写出其拉格朗日型余项.若用此公式计算ln1.1的值，试确定n的值，使绝对误差不超过0.0001.

于是代入麦克劳林公式，得

特别地，x=1时，得到

要计算ln1.1，可取x=0.1，为了使误差不超过0.0001，先估计Rn（x），若要0.0001，即

将x=0.1代入，即只要

解得n≥3，因此

例3.14 当x0=-1时，求函数在x0处的n阶泰勒公式.

解有

f（-1）=-1，f′（-1）=-1，f″（-1）=-2！，…，f（n）（-1）=-n！（n=1，2，3，…）所以，代入泰勒公式，得

例3.15 利用泰勒公式求极限

解 由有

例3.16 决定α，β，使