高数上：导数近似计算

（1）近似计算

如果函数y=f（x）在x0处可微，有

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f′（x）·Δx+o（Δx）=dy+o（Δx）

其中o（Δx）为Δx的高阶无穷小.换句话说，当Δx充分小时，用函数的微分近似于函数的改变量时，其误差为Δx的高阶无穷小.上式也可写为

f（x）-f（x0）≈f′（x0）（x-x0）

f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）

即当x→x0时，函数曲线f（x）可用一次函数f（x0）+f′（x0）（x-x0）近似代替，在几何意义上就是前面所讲的“以直代曲”.

近似计算的实质就是用x的一次多项式f（x0）+f′（x0）（x-x0）来近似表达函数f（x）.也就是说把函数f（x）简化成了一个一次多项式，把此近似公式用于一系列具体函数，可得到一系列函数的近似公式.

当x很小时，有≈1-x，ex≈1+x，ln（1+x）≈x.

（2）误差估计

实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值.要知道这些数据的准确性，就必须估计这些数据的近似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计.

如果一个量精确值是A，近似值是a，那么叫作a的绝对误差.

一个量的绝对误差还不能完全表示一个近似值近似程度的好坏.例如，测量一段路的长度，第一次测量1000m，差了5m；第二次测量100m，差了1m.第一次绝对误差为5m，第二次绝对误差为1m，但绝不能说第二次测量精度更好.可见近似值程度的好坏，不仅取决于近似值绝对误差的大小，而且取决于近似值本身的大小，通常用二者比值来反映近似程度的好坏，这就是相对误差.(www.xing528.com)

一个量的精确值为A，近似值是a，那么称为a的相对误差.

对于函数y=f（x），如果知道x的绝对误差Δx，相应可得函数的绝对误差

以及相对误差

例3.8 测得圆的直径是（5.2±0.05）cm，求计算圆的面积过程产生的绝对误差与相对误差.

解 设圆的直径为d，圆的面积

求圆面积产生的绝对误差为

相对误差为

例3.9 证明：球体积的相对误差约是它的直径的相对误差的3倍.

证明 设球的直径是r，其绝对误差是Δr

则V的绝对误差为

体积的相对误差