高数上：边际分析与经济函数导数

设y=f（x）是一个经济函数，其导数f′（x）称为y=f（x）的边际函数，f′（x0）称为f（x）在点x0的边际函数值.设f（x）在x0处有一个增量Δx，相应地，函数值有一个改变量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.若f（x）在x0可微，则Δy≈f′（x0）Δx，特别地，当Δx=1时，Δy≈f′（x0）.该式说明：自变量x在x0处改变“一个单位”时，函数y近似改变f′（x0）个单位，经济学中常略去“近似”而直接说改变了f′（x0）单位，这就是边际函数值的经济学意义.

例2.41 设y=2x2（图2.4），试求y在x=5时的边际函数值.

图2.4

解即当x=5时的边际函数值为20.其意义是：在x=5处x改变一个单位时，y改变20个单位，亦即x：5→6或5→4，y均改变了20（注意是近似值）.把边际函数的概念具体应用到经济函数中产生了边际成本、边际收益、边际利润等概念.

设成本是产量的函数C=C（q），则MC=C′（q）称为边际成本.MC的经济学意义是：在q0处，多生产一个单位产品或少生产一个单位产品所增加或减少的成本为C′（q0）.

设收益是产量的函数R=R（q），则MR=R′（q）称为边际收益.MQ的经济学意义是：在q0处，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品所增加或减少的收益为R′（q0）.

设利润是产量的函数L=L（q），则ML=L′（q）称为边际利润.ML的经济学意义是：在q0处，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品所增加或减少的利润为L′（q0）.

例2.42 设C（q）=0.001q3-0.3q2+40q+100，求边际成本函数和q=50单位时的边际成本，并解释后者的经济学意义.

解 由于边际成本函数为MC=C′（q）=0.003q2-0.6q+40，于是q=50单位时的边际成本为其经济学意义为：生产第50个产品或第51个产品时，所花成本为17.5个单位.(www.xing528.com)

事实上，生产第50个产品所花成本为C（50）-C（49）=17.65，生产第51个产品所花成本为C（51）-C（50）=17.351.

例2.43 设某产品的需求函数为（p为价格，q为销售量），求销售量为15个单位时的总收益、平均收益与边际收益，并求当销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率.

解 总收益为，故：

销售量为15个单位时的总收益R（15）=225；

销售量为15个单位时的平均收益

销售量为15个单位时的边际收益

销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率