高等数学-参数方程函数的求导法

除了方程F（x，y）=0及y=f（x）描述平面曲线外，另一种常见的方法就是用参数方程来描述.如在解析几何中，圆的参数方程为

椭圆的参数方程为

一般地，参数方程为

表示平面上的一条曲线.如果x=φ（t）与y=ψ（t）皆可导，且φ′（t）≠0，又x=φ（t）存在反函数t=φ-1（x），则y是x的复合函数，即

y=ψ（t），t=φ-1（x）

则由复合函数与反函数的求导法则，有

这就是参数方程的求导公式.

对于极坐标方程下函数求导，可以转化为参数方程求导.若一函数由极坐标方程表示为

r=f（θ）

其中r是极径，θ是极角.

在极坐标系上以极轴为x轴、极点为原点建立直角坐标系，则由直角坐标系与极坐标的关系.对于函数曲线上任一点（x，y），有

即函数曲线由θ为参数的参数方程表示，有

例2.30 求曲线

在（1）t=0，（2）t=1，（3）t=∞各处的切线方程与法线方程.(www.xing528.com)

解

（1）在t=0时，对应曲线点（0，0）处，此处切线斜率K与法线斜率K1分别为

所以相应切线方程与法线方程分别为

y=x；y=-x

（2）在t=1时，对应曲线点处，此处切线斜率K与法线斜率K1分别为

所以相应切线方程与法线方程分别为

（3）在t=∞时，对应曲线点（0，0）处，此处切线斜率K与法线斜率K1分别为

所以相应切线方程与法线方程分别为

y=-x；y=x

例2.31 证明：曲线上任意点（x，y）的切线，由切点到x轴之间的切线段的长是定数.

令y=0，得切线与x轴交点

所以切线段AB的长