《高数上反函数导数》

关于反函数的导数，有下面的结论：

定理2.1 若（1）y=f（x）在点x0导数存在且不等于0，（2）f（x）在点x0的某一邻域内连续，且严格单调，则其反函数x=φ（y）在点y0可导.这里y0=f（x0），并且有

证明 f（x）在x0的某一邻域内连续且严格单调，y0=f（x0）.由反函数的连续性定理，对于y=f（x），x∈U（x0），它在其对应值域U（y0）存在反函数x=φ（y），且x=φ（y）在U（y0）严格单调且连续.

由y0=f（x0），有x0=φ（y0）.记Δx=φ（y0+Δy）-φ（y0），则

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）

由x=φ（y）在x0处连续，有

当Δy→0时，Δx→0

又x=φ（y）是严格单调的所以

Δy≠0，有Δx≠0

上述结论可简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例2.11 设为直接函数，则y=arcsinx是它的反函数.函数x=siny在开区间内严格单调、可导，且

因此，由反函数的导数定理，在对应区间Ix=（-1，1）内有

但从而得反正弦函数的导数公式为(www.xing528.com)

用类似的方法可得反余弦函数的导数公式为

例2.12 设x=tany是直接函数则y=arctanx是它的反函数.函数x=tany在内严格单调、可导，且

因此，由反函数的导数定理，在对应区间Ix=（-∞，+∞）内有

但sec2y=1+tan2y=1+x2，从而得反正切函数的导数公式为

用类似的方法可得反余切函数的导数公式为

例2.13 设x=logay（a＞0，a≠1）在（0，+∞）内单调可导，且

y=ax为其反函数，由反函数的导数定理，在对应区间（-∞，+∞）内有

特别地

（ex）′=ex

例2.14 双曲函数的导数

类似可证：（chx）′=shx