高等数学：无穷小量比较

所谓无穷小量，就是以零为极限的变量.当然无穷小量既可能是数列，也有可能是函数.如果是一个函数为无穷小量，一定要指明它在自变量怎样的无限过程中为无穷小量.

无穷小量在微积分中占有重要的地位.任何一个极限问题都可以归结为无穷小量问题，所以数学上研究微积分的课程“数学分析”又称为“无穷小量分析”.

那么无穷小量之间的关系又是怎样的呢？都是无穷小量，但不同的无穷小量趋于零的速度是不一样的.简单地比较就可看到这一点，例如，函数f（x）=x2、g（x）=x3，当x→0时均为无穷小量，其趋于零的情况见下表：

从表中可看出，虽然当x→0时，f（x）、g（x）均为无穷小量，但g（x）趋于零的速度比f（x）快得多.这只是我们从表中所得到的一个直观的感受，两个无穷小量趋向于零的快慢程度如何，这需要给出一个定量的定义.

定义1.19 设x→x0 时，f（x）与g（x）都是无穷小量，且在x0 的某一去心邻域内，g（x）≠0.

注意：上述定义中的极限过程是x→x0，当极限过程是x→∞或n→∞或者是单侧极限时，有完全类似的定义.

等价无穷小量是一个很有用的概念，我们常利用如下的等价无穷小量的替换定理来求极限.

定理1.15（等价无穷小量替换定理） 设在自变量的某一变化过程中，f（x）、f1（x）、g（x）、g1（x）都是无穷小量，且f（x）～f1（x），g（x）～g1（x），如果(www.xing528.com)

证明 已知f（x）～f1（x），g（x）～g1（x），有

所以

注意：在利用等价无穷小量代换求极限时，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代.

当x→0时，有如下常见的等价无穷小：

前面几个结论的证明是简单的，这里就后三个结论给出证明：

这几个重要的等价无穷小量，在以后计算的过程中可直接使用.

即当x→0时，tanx-sinx为关于x的3阶无穷小.