高等数学：连续性定义与性质

首先是函数在一点的连续性.

定义1.18 若函数f（x）在x0点的附近包括x0本身有定义，并且

就称f（x）在x0点连续，或者称x0点是f（x）的连续点.否则，就称f（x）在x0点不连续，也称f（x）在x0点间断，或者称x0点是f（x）的间断点.

函数f（x）在x0点连续也有一些等价的叙述.

①函数f（x）在x0点连续有

注意，函数f（x）在x0点连续，一定在x0点有定义，所以前面函数f（x）在x0点极限定义中的式子在这里变成了

②设Δx=x-x0，相应记Δy=f（x）-f（x0），x→x0，即Δx→0；f（x）→f（x0），即Δy→0.所以

③也可用邻域来加以描述：

f（x）在x0点连续⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当x∈U（x0，δ），有f（x）∈U（f（x0），ε）.

这是函数在一点连续的概念，下面给出函数f（x）在一区间内连续的定义：

若函数f（x）在开区间（a，b）内每一点连续，则称函数f（x）在（a，b）内连续.这是开区间，还是闭区间呢？

对于［a，b］，若f（x）在（a，b）内连续，同时在端点有

则称f（x）在［a，b］连续.

这里事实上是f（x）在a点右连续.所谓一个函数f（x）在一点x=x0处右连续，是指类似的，所谓一个函数f（x）在一点x=x0 处左连续，是指由此可得：

函数f（x）在［a，b］连续，是指f（x）在（a，b）连续，在左端点a点右连续，在右端点b点左连续.

另外，由前面函数极限的结论：

特别地，有(www.xing528.com)

所以，函数f（x）在x0点连续⇔函数在x0点既是右连续也是左连续.

当然，我们可以利用函数连续的定义证明函数的连续性，下面看几个例题：

例1.52 证明sinx在（-∞，+∞）内连续.

证明 ∀x0∈（-∞，+∞）

∀ε＞0，∃δ=ε，当有

由函数在一点连续的定义，sinx在x0点连续.

由x0点的任意性，所以

sinx在（-∞，+∞）连续

例1.53 证明：函数在其定义域内连续.

证明 定义域是R，∀x0∈R，分两种情况证明：

（1）x0=-4

∀ε＞0，要使不等式

（2）x0≠-4（x0+4≠0）

∀ε＞0，要使不等式

则连续.

由x0点的任意性，所以函数在其定义域内连续.