高等数学上：函数趋于无穷大

在自变量的变化过程中，函数趋向于无穷大，就称函数在这一自变量的变化过程中为无穷大量.

随着自变量不同的变化过程，函数为无穷大量呈现不同的表现形式：

结合前面数列为无穷大量以及各种情况下函数极限的描述，可写出对应的定义.例如，f（x）→-∞（x→x0+0）⇔∀G＞0，∃δ＞0，当0＜x-x0＜δ时，有f（x）＜-G.

和数列无穷大量一样，函数无穷大量也存在着类似的性质.

下面的性质中，记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程.实际上，同一性质中自变量的变化过程为同一变化过程即可.

性质1.6 若limf（x）=∞，那么反过来，如果在向变量的变化过程中f（x）无零点，并且limf（x）=0，那么

性质1.7 若lim f（x）=∞，而g（x）在自变量的变化过程中那么limf（x）g（x）=∞.

例1.45 讨论

其中a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数，并由此计算：

解 当m=n时，分子、分母各除以xn，得到

因为x→∞，由无穷大量与无穷小量的关系，得到再由函数极限的四则运算法则，可得

当m＞n时，用xm 除分子分母，和上面一样，有

当m＜n时，由

得

综上所述，有

应用上面结果，可直接得到

例1.46 讨论函数在x=-1处的极限.

解，由于是讨论函数在x=-1处的极限，因此只需考虑x=-1邻近区域的函数值即可.(www.xing528.com)

当-2＜x＜-1时，［x］=-2，则

当-1＜x＜0时，［x］=-1，则

所以

例1.47 已知下列极限，确定a与b，使

分母x的最高次数为1次，要极限为0，由例1.45的讨论可知，分子x的最高次数必须低于1次，可得

解方程组，可得

将代入，极限不存在.所以

例1.48 举出符合下列要求的函数f（x）.

（1）f（+0）=0，f（-0）=1.

解 满足条件的函数可举出很多，例如

（2）f（+∞）=0，f（-∞）不存在.

解 f（x）=e-x，它满足

（3）f（x0+0）和f（x0-0）都不存在.

解它满足f（x0+0）和f（x0-0）都不存在.

（4）f（x0+0）=1，f（x0-0）=+∞

解