高等数学：单侧极限分析

分析函数极限的定义：

这里，事实上就是（x0-δ，x0+δ）这个区间除去x0点，但有时只能或只需考虑x仅从x0的左侧趋于x0的情形，或x仅从x0的右侧趋于x0的情形，这就是函数在一点的左右极限.从左边趋近就是左极限，从右边趋近就是右极限.

（1）右极限的定义

设函数f（x）在x0点的右去心邻域有定义，又设A是一个定数，如果对于任意给定的ε＞0，总存在δ＞0，当0＜x-x0＜δ时，有

就称A是函数f（x）在x0点的右极限.记为这时也称函数f（x）在x0点右极限存在.

函数f（x）在x0点右极限的定义可简写为

这个定义也可用邻域表示为

（2）左极限的定义

设函数f（x）在x0点的左去心邻域有定义，又设A是一个定数.如果对于任意给定的ε＞0，总存在δ＞0，当-δ＜x-x0＜0时，有

就称A是函数f（x）在x0点的左极限.记为

这时也称函数f（x）在x0点左极限存在.

函数f（x）在x0点左极限的定义可简写为(www.xing528.com)

这个定义也可用邻域表示为

函数f（x）在x0点左、右极限为A的几何意义如图1.17和图1.18所示.

图1.17

图1.18

结合函数在一点极限的定义和左右极限的定义，简单地证明就可以得到：

通常利用此结论证明在一点极限不存在，即

对于函数的左、右极限，同样存在着前面函数极限所具有的性质、运算法则，其证明也是类似的.

例1.40 讨论符号函数

在x=0处的极限.