《高等数学上》函数极限的性质和运算

与收敛数列的性质相比较，可得函数极限一些相应的性质.它们都可以根据函数极限的定义，运用类似于证明数列极限性质的方法加以证明.

由此可得下面几个推论：

最后是体现函数极限和数列极限之间的关系的海涅（Heine）定理，或称归结原则.

性质1.5的充分必要条件为对任何以x0为极限的数列｛xn｝，xn≠x0，都有f（xn）→A（n→∞）.

海涅定理是沟通数列极限和函数极限之间的桥梁，它可将函数极限问题转化为数列极限问题，也可使数列极限归结到函数极限.在极限论中，海涅定理处于十分重要的地位.

证明 （1）必要性

已知则∀ε＞0，∃δ＞0，当时，有

若xn→x0（n→∞），则对上述δ＞0，∃正整数N，当n＞N时，有

又xn≠x0，故可得

所以

f（xn）→A（n→∞）

（2）充分性

已知对任何以x0为极限的数列｛xn｝，xn≠x0，有

f（xn）→A（n→∞）(www.xing528.com)

从而得到一个数列｛xn｝，它满足

即得到一个数列｛xn｝，xn→x0，且xn≠x0，但

f（xn）→/A（n→∞）

与已知矛盾，假设错误，得证.

利用海涅定理可以证明某些函数的极限不存在.

①若∃｛an｝，an→x0，an≠x0，但｛f（an）｝不存在极限，则函数f（x）在x→x0时不存在极限.

②若∃｛an｝，｛bn｝，an→x0，bn→x0，an≠x0，bn≠x0，但f（an）→c，f（bn）→d，c≠d，则f（x）在x→x0时不存在极限.

例1.38当x→0时，试证明极限不存在.

证明 取数列则xn→0，且xn≠0，而f（xn）≡1，因此f（xn）→1；又取数列yn=则yn→0，且yn≠0，而f（yn）≡-1，因此f（yn）→-1.由海涅定理，当x→0时，f（x）极限不存在.

下面是函数极限的运算法则，函数极限的运算法则和数列极限的运算法则类似.

其证明和数列极限的运算法则证明类似.当然也可以借助数列极限的运算法则，利用海涅定理，归结到函数极限的运算法则.

又由海涅定理的充分性，有