求解高等数学中的数列极限的定义

上面给了极限的思想，那么如何用数学语言准确地描述极限呢？

首先如何用一个数学式子准确地刻画xn无限制地逼近常数a这个事实？一般来说：要描述两个数的相差程度，是用这两个数差的绝对值来描述的，所以xn与a的逼近程度一般用来衡量.但又怎么描述其逼近程度是无限制的呢？xn 无限制地向a逼近，也就是要它有多小，它就有多小.就任意给定一个正数ε＞0，要它有多小就有多小，让＜ε，这样来刻画xn与a无限制地逼近.

当然，xn与a无限制地逼近是在n无限制地增大的情况下产生的.逼近程度不一样，所要求的n值也不一样.

例如当n→∞时，xn→1.

令ε=0.01，＜0.01，n＞100，即数列｛xn｝要逼近到与1相差小于0.01，只需从101项开始即可满足；令ε=0.001，，即数列｛xn｝要逼近到与1相差小于0.001，则需从1001项开始方可满足.

由此得到刻画数列极限的定义.

定义1.6（数列极限的定义） 设｛xn｝是一个数列，a是实数.如果对任意给定的ε＞0，总存在一个正整数N，当n＞N时，都有，就称a是数列｛xn｝的极限，或者称数列｛xn｝收敛，且收敛于a，记为

若数列｛xn｝没有极限，则称这个数列不收敛，或称它为发散数列.

注意：

①在此定义中，ε的作用是衡量数列xn与其极限a的逼近程度，因此ε必须任意（当然这里应该说是任意小）.

②并非要求所有xn都满足，而只要从某一项xN 以后的项都满足即可.至于这个N有多大，x1，x2，…，xN 这些项是否满足，不加过问.所以N不在大小，只须存在.

③ε给定在先，N找到在后，N依赖于ε，但它们之间的关系又不是函数关系.这是因为，ε给定后，只要能找到一个N，那么N+1，N+2，…都可以充当N的角色.

④根据ε的职能与特点，在证明有关极限问题时，往往把ε限制在某一个范围内.例如，∀ε＞0，不妨设ε＜α0（α0＞0），若存在正整数N，当n＞N时

这样一定对于任意不加限制的ε＞0，也有

为了表达方便，引入记号“∀”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，记号“∃”表示“存在”.数列极限的定义可简写为

数列极限的几何解释：

由与a-ε＜xn＜a+ε等价.数列｛xn｝极限为a，意味着∀ε＞0，总存在正整数N，数列｛xn｝在第N项以后，所有项xN+1，xN+2，…都夹在a-ε，a+ε之间.或者说在（a-ε，a+ε）以外最多只有x1，x2，…，xN 中的有限多项，如图1.13所示.

图1.13

数列极限的定义也可以用邻域来叙述：

下面再写出几个与极限定义等价的常用叙述：

其中，k＞0为常数

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只有数列｛xn｝的有限多项在U（a，ε）之外.

若一个数列以0为极限，则此数列称为无穷小量.

关于数列极限与无穷小量的关系，下面给出一个重要的结论（函数极限与无穷小量具有类似的结论）.这个结论在极限的讨论过程中经常会用到.

定理1.2 若一个数列存在极限，则此数列等于其极限加上一个无穷小量；反之，若一个数列等于一个确定的数加上一无穷小量，则此数列存在极限，且极限就是这一确定的数.

证明 若一个数列存在极限，设由极限的定义，∀ε＞0，∃正整数N，当n＞N时，有

令xn-a=αn，则

由数列极限的定义，即数列｛αn｝为无穷小量，且

反之，若一个数列等于一个确定的数加上一无穷小量，设xn=a+αn，其中αn→0（n→∞）.由极限的定义，∀ε＞0，∃正整数N，当n＞N时，有

又xn-a=αn，则

即

另外，由数列极限的定义，数列极限存在与否只与数列在后面无穷多项的值有关.一个数列、去掉、添加或改变它的有限个项的数值，不改变其敛散性与极限值.

数列极限的定义是一种非构造性的定义.具体来说，该定义只给出一个数列｛xn｝与一个常数a是否有极限关系的“定性”描述，并未给出由已知数列求出其极限的具体方法.因此，在用极限定义讨论有关极限问题时，必须预先知道其极限，否则就不能用.因此，极限定义一般用作证明极限问题.

证明 反推可证明不等式：

此外，还可以利用数列极限的定义证明数列不存在极限，即利用它的反定义.下面写出数列极限的反定义.

另外，数列｛xn｝不存在极限⇔即任何有限数均不是｛xn｝的极限⇔∀a∈R，∃ε0＞0，∀N，∃n0＞N，有.

例1.17 证明数列发散.

分析：即要证明，∀a∈R，∃ε0＞0，∀N，∃n0＞N，有.

证明∀N，∃n0=2k+1＞N，有∀a＜0，∃ε0=有，所以发散.