【摘要】:极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.它是一种变化的趋势.极限方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限、从近似认识精确、从量变认识质变的一种数学方法.早在两千多年前,庄子的《天下篇》里引惠施的话说“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这事实上就包含了一种朴素的极限思想.一根一尺长的木棒,第一天截取半尺,余半尺;第二天又从第一天所剩下的半尺截取一半,即截取尺,余尺;第三天又从第二
极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念.它是一种变化的趋势.极限方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限、从近似认识精确、从量变认识质变的一种数学方法.
早在两千多年前,庄子的《天下篇》里引惠施的话说“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这事实上就包含了一种朴素的极限思想.一根一尺长的木棒,第一天截取半尺,余半尺;第二天又从第一天所剩下的半尺截取一半,即截取尺,余尺;第三天又从第二天所剩下的尺截取一半,即截取尺,余尺;如此继续下去,直至n天.把逐日余下的量记为xn,则有
可见,它们构成了一个数列.(www.xing528.com)
当n越来越大时,木棒越截越短,即数列{xn}的项随着n的增大而越来越小.但无论n多么大,所剩下的量总还有尺,这就是所谓的万世不竭.万年虽然漫长,但毕竟是有限的.如果把“日取其半”无限制地进行下去,当天数n无限制地增大(记作n→∞时),直观上很明显,xn将无限制地变小.只要天数足够多,它就可以任意接近零,但它不是真正地等于0,这说明随着n的变大,变量xn的变化有一种趋势——越变越小,可以小到任意地接近于零,这时就把零叫作数列{xn}的极限.这就是极限的基本思想.
一个数列{xn}以a为极限,也就是随着n无限制地增大,相应的xn无限制地逼近常数a.
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