复合函数的定义及性质

定义1.4 函数y=φ（u）的定义域为U，而函数u=f（x）的定义域为X，值域为U*.若U∩U*≠∅，那么对于X内相应x，经过中间变量u，得到唯一确定的一个值y.于是y经过中间变量u而成为x的函数，记为

y=φ（f（x））

这种函数称为复合函数.其中，y=φ（u）称为外层函数，u=f（x）称为内层函数.

注意，两个函数通过中间变量，要构成复合函数，只需内层函数的值域与外层函数的定义域交集非空，即U∩U*≠∅.内层函数的值域包含于外层函数的定义域只是其特殊情形.

复合函数定义域是内层函数定义域的子集，复合函数值域是外层函数值域的子集.

例如，外层函数为；内层函数为u=1-x2，X=（-∞，+∞），U* =（-∞，1］；U∩U* =［0，+∞）∩（-∞，1］=［0，1］≠∅，所以可以构成复合函数定义域为［-1，1］⊂（-∞，+∞）.

若U∩U* =∅，则不能构成复合函数，φ（f（x））没有意义.

例如，y=arcsinu，U=［-1，1］；u=2+x2，X=（-∞，+∞），U* =［2，+∞），U∩U* =［-1，1］∩［2，+∞）=∅，所以不能构成复合函数.(www.xing528.com)

实际问题当中也可能遇到两个以上函数所构成的复合函数，只要它们顺次满足构成复合函数的条件即可.

例1.9 已知f（2x-1）=x2，x∈R，求函数f（f（x））的值域.

解 f（f（x））是一个复合函数，可看成由y=f（u），u=f（x）复合而成，首先必须求出f（x）的表达式，由f（2x-1）=x2，x∈R，令2x-1=u，则，有

可复合

定义域为（-∞，+∞），值域为.

例1.10 设求f（g（x））.

解 f（g（x））=