正态分布在定量化学分析中的应用

由于随机误差属于随机变量,因此它服从统计规律,可以用概率统计的方法进行分析和处理。

正态分布是随机变量的一种重要的分布形式。当n→∞时,如果不存在系统误差,则测量值和随机误差的分布基本上符合正态分布。

正态分布又称高斯分布,是德国数学家（C.F.Gaus）推导出来的,又称Gaus方程。正态分布的概率密度函数方程可用下式表示：

式中：x 是测量值（随机变量）,σ是总体标准偏差,表示测量结果的分散程度；π是圆周率,e是自然对数的底,μ 是总体平均值,表示测量结果的集中的趋势；y 是概率密度。概率密度y是概率P 的导数。正态分布概率密度函数的图像即正态分布曲线,如图3-2所示。

图3-2 正态分布曲线

正态分布曲线有如下重要特征：

（1）曲线下覆盖的面积表示随机变量出现在这一范围内的概率。

（2）单峰性：曲线的最高点位于x=μ 直线上,测量值有向总体平均值集中的趋势,说明小误差的测量值出现的概率大,大误差测量值出现的概率小,特别大的误差出现的概率很小。总体平均值μ 决定了曲线的位置。(www.xing528.com)

（3）对称性：曲线以x=μ 为对称轴,这表明,在无限多次测量中,绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。

（4）拐点位置为x=μ±σ,σ值表示随机变量的离散程度,决定了曲线的形状。σ值大,曲线矮胖,σ值小,曲线瘦高。固定σ,改变μ；曲线形状不变,位置平移,固定μ,改变σ；曲线位置不变,形状不同。

测量值x 或随机误差出现在x1～x2区间内的概率可用下式计算：

在正态分布图上,此概率应为图3-3所示阴影部分的面积。不难理解,在任何情况下,测量值x 均应出现在±∞范围之内,因此P（-∞＜x＜+∞）=1。

图3-3 x出现在x1～x2区间内的概率

由于正态分布曲线是由μ 和σ 两个参数确定的,常用N（μ,σ2）表示总体平均值为μ,方差为σ2 的正态分布。