水力参数研究及应用：巴甫洛夫斯基公式、摩阻流速和垂向扩散系数

根据上文介绍,水动力方程中涉及的水力参数主要包括:谢才系数、摩阻流速,横向、纵向、垂向扩散系数,以及在运用曼宁公式计算流速、流量时使用到的糙率、水力半径、湿周等参数。

1.谢才系数C

在一维水质模型介绍时,其动量方程中包含谢才系数(C),它是谢才公式的重要组成部分。谢才公式(Chézy formula)是计算明渠和管道均匀流平均流速或沿程水头损失的主要公式。它是1769年由法国工程师A.de谢才提出的,其数学表达式为

式中 C——谢才系数,m1/2/s;

R——水力半径,m;

J——水力坡度。

许多学者对C值进行研究,得到一系列经验公式。其中最为简便而应用广泛的是曼宁(R.Manning,1890)公式,即

式中 n——糙率,取值可参见《水环境容量综合手册》中的表10-1;

其他符号意义同前。

但是当0.1m≤R≤3m且0.011≤n≤0.040时,曼宁公式不再适用,需采用巴甫洛夫斯基公式进行计算,巴甫洛夫斯基公式数学表达式为

2.摩阻流速u*

摩阻流速是指以壁面切应力与流体密度之比的平方根计算出的、具有速度量纲的参数,它反映了明渠流床面切应力的大小,是研究明渠流的运动规律、挟沙规律的关键参数。目前较为常用的确定摩阻流速的方法是根据均匀明渠流的阻力平衡求摩阻流速。其数学表达式为

式中 h——断面平均水深,m;

I——水力坡降。

3.横向扩散系数Ey

(1)示踪试验法。选定试验河段,选用罗丹明-B或氯化物进行连续稳定投放。如果在x=0处进行连续均匀投放示踪物,可认为河流中示踪剂浓度达稳态平衡。如果能测得下游x处断面离岸边距离分别为yi(i=1,2,…,n,一般n＞10)处的示踪物浓度值为Ci,可以用最小二乘法或矩法计算出该河流的横向扩散系数Ey。

1)最小二乘法。根据顺直均匀河流二维水质模型,忽略纵向扩散系数和横向推流迁移作用后,其稳态情况下得解析解详见式(4.137)。对式(4.137)两边取自然对数,可得

利用最小二乘法可求出

2)矩法。根据统计学理论,污染物沿河的横截面应呈正态分布(中间最高,两边最低)。因而弥散系数可由浓度变化分布曲线的方差算出,方差可用矩法算出。零次矩、一次矩和二次矩分别为

式中 i——测点编号,i=1,2,…,n,n＞10,以岸边第一点记为i=1,对岸最靠边一点记为n;

Ci——对应yi处的浓度测定值;

yi——第i点离岸距离;

Δyi——相邻两测点距离,Δyi=yi-yi-1,并规定Δy1=0。

由统计理论可得方差和混合系数(扩散系数)Ey为

要注意,如果使用矩法,必须测出浓度波峰(正态波)。如果只测出半个波峰(即浓度只是逐渐增大或逐渐减少),就不能用矩法。

(2)经验公式法。

1)费休公式。

对于顺直河段,有

对于弯曲河段,有

2)泰勒公式。

(www.xing528.com)

式中 B——河流平均宽度,m;

其余符号意义同前。

泰勒公式适用于宽深比B/H≤100的河流。

4.纵向扩散系数Ex

(1)示踪法。类似于横向扩散系数,采用示踪法进行求解。

1)最小二乘法。根据顺直均匀河段一维模型,非稳态条件下,瞬时排放情况下对应的解析解详见式(4.134)。以持久性污染物为例,即K=0,则式(4.134)可变为

对式(4.84)两边取自然对数,可得

利用最小二乘法可求出

2)矩法。根据统计学理论,瞬时排放的污染物在纵向弥散作用下应以一个正态浓度波形式通过一个横截面。因此,扩散系数可由浓度变化曲线的方差计算得到,方差可用矩法算出。零次矩、一次矩和二次矩分别为

式中 ti——测定时间,i=1,2,…,n;

Ci——对应ti处的浓度测定值;

Δti——相邻两测定时间的间隔,Δti=ti-ti-1,并规定Δt1=0。

由统计理论可得方差和混合系数(扩散系数)Ey为

要注意,如果使用矩法,必须测出浓度波峰(正态波)。如果只测出半个波峰(即浓度只是逐渐增大或逐渐减少),就不能用矩法。

(2)经验公式法。河流纵向离散系数的估算公式较多,大多数公式是根据某一具体河流的试验数据推求而来,因而局限性较强。当然,也有少数公式是在试验的基础上结合理论分析总结而来的半经验公式。

1)Elder公式。在均匀河段,水深为常量,假设无岸边限制,水面无限宽,Elder利用泰勒积分,采用二维流动对数流速分析得到

Elder公式在推求过程中,假设河流只有纵向浓度梯度,仅考虑了纵向流速的不均匀离散,式中0.07Hu*是近似选取的纵向扩散系数值。而实际情况是,河流的横向流速分布对污染物的迁移扩散作用较大,根据国内外相关河流已有的实测结果,α值的取值范围为8.6～7500。因此Elder公式不太适用于天然河流。

2)Ficher经验式。Ficher证明在宽浅的均匀河床中,有以下经验式成立,即

Ficher经验式主要考虑了流速在横向上的不均匀分布引起的离散,适用于天然河流。

3)Liu&Cheny公式,即

4)Liu公式,即

5.垂向扩散系数Ez

(1)Elder法。目前国内外研究确定的河流垂向扩散系数的主要方法有经验公式法、示踪试验法以及理论公式法。Elder采用对数流速分布函数,在各向同性紊动条件下,得出垂向扩散系数的数学表达式为

式(4.95)仅适用于顺直的均匀河段,对于弯曲河段难以描述清楚。

(2)垂直面上混合区法。根据垂直面上岸边污染混合区外边界标准曲线的特征尺度,建立面方程,可以得到顺直宽阔水库垂向扩散系数的计算公式为

式中 e——自然底数,e=2.718281828459;

Lmax——岸边污染混合区水面上最大长度,m;

dmax——岸边污染混合区所在水域垂直面上最大深度,m;

Sz——岸边污染混合区垂直面面积,m2。