数形结合与数学思维的高效作用

综合上述分析，我们可以对思维的特点及影响因素有比较全面的认识和理解。从上述分析可以看出，思维的发展具有规律性，需要探索依据规律进行教学的途径。数形结合是重要的思维方式，也是数学问题解决的基本方法。数形结合对数学思维的作用主要体现在以下三个方面：

（一）有助于发展形象思维

1.数学形象思维的含义

形象思维是指凭借事物的具体形象和表象的联想来进行的思维。形象思维是有层次的，一般可以将形象思维分为具体形象思维和言语形象思维两种。前一种指的是借助具体事物为思维材料的思维，它的思维过程保留与具体事物的联系，相当于皮亚杰认知发展阶段理论中的具体运算阶段，它是形象思维的初级形态。后一种作为思维材料的表象，是经过一定程度的抽象得到的。数学研究对象舍弃了物体的颜色、材质等属性，只是保留了其数量特征。言语形象思维是抽象逻辑思维的直接基础。数学中的形象思维大部分属于这一类。

数学中的形象不是现实生活中凭人的感官所能感知的形象，而是在进一步的抽象的基础上创造的理想形象。这些理想形象包括从具体事物抽象出数学特点后形成的图形、图表和图像，也包括数学知识在头脑中形成的记忆表象。以这些表象为主要思维材料的形象思维就是数学形象思维。

2.数学形象思维中的四种形象

数学形象思维中的“形象”，一般指的是几何图形及函数图像，但又不止这些，如某些数学公式和表达式通常也有形式上的特点。数学中的“形象”分为以下四类：直观形象、经验形象、创新形象及意向形象。四种形象的使用代表了四个形象思维的层次。

直观形象指的是平面几何图形、立体几何图形和函数图像，这些都属于第一层次的形象思维。比如，几何题中常常需要先根据题目要求做出几何图形再求解或证明，有些解题过程中或许还要添加辅助线。平面几何教学中所呈现的正是这类形象思维。

经验形象是比直观形象更高一层的一类形象。形式中的“形”与“式”常常是对应的。比如，在代数问题中的代数式如果满足某种结构特征，我们可以从中联想到其对应的形，把代数问题转化为几何问题，利用几何知识来解决代数问题。这种由“式”联想到“形”的过程中产生的正是经验形象。例如，求函数的最大值，其中函数解析式可以变形为。原问题可以转化为求点P（x，x2）到点A（3，2）与点B（0，1）距离之差的最大值。代数式与其对应的直观形象保存在认知中就构成了经验形象，如配对问题中连线、行程问题中的画线、概率问题的画图以及方程和不等式都可以应用函数图像来求解。这些都是经验形象的应用，属于第二层次的类几何思维。这类形象思维是将代数问题与其直观形象联系起来，将抽象问题直观化和简单化。代数式本身具备的特征也属于经验形象，如已知x2+y2=1，求证x+y≤。因为sin2θ+cos2θ=1，可设x=sin2θ，y=cos2θ，再根据正弦函数的有界性就可得证。其中，“设x=sinθ，y=cosθ”就是主体根据两个式子的相似性所建构的经验形象。

创新形象指的是用一种非常规的、特别的思路来解决问题时所想象出来的形象。

数学形象思维的第四个层次是一种数学观念的知觉，所借助的形象可称为意会形象。这是对各种数学观念的性质、相互联系以及重新组合过程的形象化感觉，是数学的知觉，很难用逻辑语言完全叙述清楚，一般存在于数学家的思维中。庞卡莱曾对这种观念直觉做过生动描述。他把存在于人脑中的种种数学思想或概念叫作“观念原子”。这些原子原来是挂在墙上带钩子的原子脑机器开动后，成群的观念原子就活动起来了，相互作用和组合形成新的观念原子。这些观念原子的巧妙组合就能形成新思想或新概念。爱因斯坦在回答阿达玛所准备的一组问题时写道：“无论是在写作的时候，还是在论述的时候，所使用的单词或语言对于我正在进行的思维活动几乎不起丝毫作用。作为心理元素的思维实体只是某些符号，以及时而清楚时而模糊的意象……”此处，庞卡莱、爱因斯坦所说的“观念原子”“意象”就是意会形象。意会形象是个体对数学思考对象的一种整体感觉，是模糊的、易变的、难以描述的。这种意会形象的思维称为意象思维，是形象思维的最高层次。

综上所述，数学形象思维是人们通过形象反映数学对象间关系的过程兼具形象性和抽象概括性，在几何教学和代数教学中都有充分体现。

3.形象思维与数学学习过程的联系

数学形象思维作为一种言语形象思维的类型，是形象思维的高级形式。它是借助生动鲜明的语言来形成具体的形象或表象来解决问题的思维过程，往往带有强烈的情绪色彩，其主要的心理成分是表象、联想、想象和情感。数学学习过程是学生对由数学教科书提供的数学内容的理解、掌握和应用，其一般路线是：先学习基本概念和原理，然后在基本概念和原理的指导下，逐渐展开理论体系（一般原理中所包含的具体内容），使学习的内容逐渐接近客观实际。形象思维贯穿整个数学学习过程，下面对此进行具体说明。

（1）表象是形成数学概念的基础

数学研究的基本对象是“数”和“形”。数学中的表象即“数”和“形”。其中，“数”主要指的是数字、解析式以及由解析式构成的等式与不等式，“形”主要指的是几何图形、图表和图像。一般认为数学中的形象思维所凭借的数学形象往往指的是数学中的“形”，很少涉及“数”的领域。然而，代数式之间也具有形式上的一致性，如一元一次方程的一般式ax+b=0与一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0，因此数学表象应包括“数”和“形”两个方面。

概念形成主要是一个抽象的过程，但也离不开形象思维。徐利治先生把数学研究中的抽象思维分为四个阶段，其中第一阶段为主要研究数学问题阶段，即把实际问题转化为数学问题，形成数学表象，如几何图形的表象源于土地测量、编织和制作陶器等活动。而第二阶段主要是对各种具体数学属性进行分析，逐步去掉非本质属性，只保留本质属性，此为概念的初步形成。这一阶段是以表象作为思维的材料，通过比较与归纳来获得研究对象本质属性的过程。表象是由实物转化为概念的中介，是第一步抽象的产物，也是下一步抽象的基础。每一个数学概念的形成都离不开背后具体表象的支持。

（2）联想是解决数学问题的途径

数学表象是数学形象思维的开始，进一步的思维活动需要靠联想。联想指的是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物。联想涵盖的范围非常广泛，不仅存在于形象思维中，而且概念的形成、问题的解决、结论的验证等抽象思维也都需要联想的力量。此处的联想主要指的是由某一个表象想到另一表象的思维过程。比如，根据函数的表达式想到函数图像和性质，或由二维平面空间联想到三维及三维以上的空间。联想的产生建立在数学表象存在的基础上，且需具备联想的意识。数学联想是在观察的基础上，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验的思维活动。波利亚在《怎样解题》一书中给出了一个数学解题表，其中第二步是找出已知数据与未知量之间的联系。联想即是找出两个事物之间的联系的最常用的方法。能否找到条件与结论之间的联系是解决数学问题的关键，因此联想能力的高低决定了数学解决问题能力的强弱。

（3）想象是提出数学猜想的前提(https://www.xing528.com)

想象是在联想的基础上加工原有表象而创造出新表象的思维活动。想象和联想是不同的概念，两者的区别在于：联想是建立两个表象之间的联系，是对原有表象的简单利用，而想象是对原有的表象进行分解、选择和重组，是对原有表象的加工和改造而形成新表象的过程。然而，它们又是相互联系的，联想是想象的基础，没有联想就无法想象。想象是更高一级的联想，当通过联想无法找到两个表象之间的直接联系时，就需要打破常规，添加新的思维材料，转换角度对问题进行新的思考。比如，在几何题的证明中添加辅助线，经常可以使得原本不清晰的几何关系瞬间变得明朗。当然，不仅是在联想遇到问题时需要想象，数学结论的发现和推广更需要想象。比如，在平面几何里，我们已经知道正三角形的外接圆和内切圆的半径之比是2∶1，那么将这个命题拓展到空间正四面体，其外接球和内切球的半径关系有没有相似的结论呢？这是一个在立体几何教学中经常用来训练学生类比能力的例子。类比的前提是在观察的基础上进行联想和想象，只有发现所类比的两个事物之间的共性，才能提出猜想。

（4）情感是进行数学创造的动力

数学形象思维的情感因素主要指的是对数学美的认识与领悟。数学美是带有一定主观感情色彩的精致的直觉，数学美的内容主要包括简单美、对称美、统一美和奇异美。数学美是数学发展的动力之一，是数学发现的重要方法，是检验数学的重要标准。历史上的数学家对数学美给予了高度评价，并把他们的研究发明归功于对数学美的追求。两千多年前，毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”的哲学理念，并把数看成是一种和谐美。这一思想不仅深刻影响了西方数学的发展，而且也影响了西方的科学和文化的发展。哥白尼和开普勒提出“日心说”这一革命性的理论，是“由于他们虔诚信奉毕达哥拉斯派的思想，认为宇宙是一个系统的、和谐的结构，其本质是数学定律，于是他们着手寻求这种本质”。阿达玛也曾说：“发明就是选择，而选择是被科学美感支配的。”数学美不仅是数学家们发明和创造的有利因素，也是我们的数学学习中不可缺少的元素。比如，在解题方法的选择上，力求简单。

（二）有利于培养抽象思维

1.抽象思维的含义

抽象指的是抽取同类事物的共同的、本质性的属性或特征，而舍弃其他非本质的属性或特征。比如，猪、狗、马、猴、羊，它们都是动物。动物这一概念的获得，就是一个抽象的过程。任何概念的获得都经历了抽象的过程。抽象思维则是依据概念进行推理和判断的一种思维方式。数学的抽象性决定了抽象思维是数学思维的核心。数学中很多抽象不是一次完成的，数学的高度抽象正是由于数学知识和方法的多次抽象。抽象思维有不同的水平，而抽象思维的水平实际上指的就是对数学对象的抽象水平。根据思维程度的不同，张国旺将抽象思维分为经验型抽象思维和理论型抽象思维。我国著名数学家徐利治先生曾提出“抽象度分析法”，对数学抽象程度本身进行了定量分析。抽象度分析法着眼于抽象思维一般规律的认识。它使人们能够根据数学发展的需要，自己调整已有概念层次结构。通过对数学抽象物原型、层次结构和抽象难度的分析，学生可以受到生动、丰富的数学抽象思维训练。在此，本书采用的是张国旺将抽象思维分为两个阶段的做法。在数学教学中，小学阶段主要培养学生的具体形象思维，升入中学，逻辑思维有所发展。其中，初中以培养经验型抽象思维为主，高中以培养理论型抽象思维为主，逐渐向辩证思维过渡。

2.抽象思维的两个阶段

很多知识都是通过归纳得到的，而数学知识的获得则多了证明的过程，从而保证了数学的严密性。对于一般的数学知识而言，证明是必不可少的。但对于学习数学的人来说，数学知识的获得不是都需要证明的，且证明的步骤并不一定好理解，可能超出了初学者的认知发展水平，因而并不是必需的。比如，初中教材中给出了正负数的概念、用字母表示数以及整式的四则运算，这些都是通过实例猜想来归纳得出运算性质的。整个过程给出了运算存在的规律以及它是如何进行的，但对于这种做法的正确性并没有给予理论上的证明。这种思维过程就是经验型抽象思维。从小学到初中，学生逐渐由具体形象思维向经验型抽象思维过渡。初一教材的安排充分考虑了这一特点，在引入同底数幂的乘法和乘法法则时运用了经验型抽象思维的推导。

进入初二，开始以经验型抽象思维为主要形式的思维过程，一直持续到高一阶段。经验型的思维比较符合一般思维过程。根据特殊的情况归纳猜想得到一般结论，这就是经验型抽象思维。这与“天下乌鸦一般黑”的推理过程是一个原理。思维发展的阶段性，不是截然分开的。经验型抽象思维发展的过程中同时孕育了理论型抽象思维的发展，即完全摆脱具体的形象，开始对经验材料进行抽象的逻辑论证。高中阶段，学生正处于抽象思维发展占主导地位的阶段，且经验型抽象思维逐渐转化为理论型抽象思维，辩证思维也有了初步发展。因为高考的压力，大部分学校高中三年的课程都压缩在两年内完成，原本定于高二时期的课程提前在高一完成，如数列。数列属于代数内容，是锻炼理论型思维能力的一个重要部分。高中数学知识的安排很多都是按照公理化思想，首先给出一些基础定义，再从定义来推导出性质和结论。这种推理方法就是理论型抽象思维。不仅代数内容如此，几何教学也是一样。比如，给出平行四边形定义，可以推导出其中的边、角关系，再去应用这些性质。代数与几何，既有形象思维，也有抽象思维。

（三）有助于形成整体性思维

一般来说，人在思考一个问题时都不是仅仅用逻辑思维，而是两种思维并用的。通过形象思维，可以得到一个直觉的解或给出一个假设，然后用逻辑思维进行仔细论证或搜索。但这两种思维又是可以独立存在的，也可以单独解决问题。对不同的问题，所用思维的侧重面是不同的。多逻辑性较强的问题，如数学、哲学、法律等问题，则偏重于逻辑思维，但形象思维在其中也是不可缺少的，否则就没有创造性。数形结合，既是代数与几何的结合、抽象与直观的结合，也是抽象思维与形象思维的结合。数形结合反映了数学各科之间的内部联系和统一性，体现了人们对数学的总体认识。形象思维与抽象思维是两种主要的数学思维。数学知识的产生、获得与发展都离不开两种思维的相互合作。

根据“裂脑病人”的实验研究发现，人脑右半球有极强的非语言思维能力。大脑左半球具有完整的思维体系结构，而右半球则缺乏语言存储，因此只有形象思维能力，是一个不完整的思维结构体系。当两半球相连时，两者可以相互配合解决问题。但一旦将两半球的联系切断，两半球单独工作，这时右半球只能进行形象思维。人的大脑的两个半球具有不同的功能，左半脑主要负责逻辑分析和推理的任务，右半脑主要负责形象思维和审美的任务。左、右半脑在生理机制上互相联系、互相促进。我们常常强调数学思维的逻辑性和抽象性，这与左半脑的思维有关。然而，数学中也有“实验、猜想、直觉、美感”等思维，而这属于右半脑的思维。数学中的思维主要是以抽象思维为主，我们不可否认数学对于培养抽象思维的巨大作用，但形象思维的作用也是不可忽略的，它与抽象思维相辅相成。

1.两种思维的特点及相互关系

抽象思维是利用概念来判断、推理的过程，是在局部进行的一种连贯的思维活动，特点是准确、简洁、易于表达等，缺点是一个地方出错，整体都会出问题。而形象思维是一种并行处理信息的动态过程，是全局性的。因而，形象思维具有协同性、全局性、动态性，也有不确定性、不唯一、难以表达的特点。

两种思维各具特点，在思维过程中，往往取长补短，充分利用各自的特点，是一种相互补充的关系。在要求迅速做出决策而不一定要十分精确的时候，多凭形象思维，也常常用直觉；当要求严格地论证时，就要用逻辑思维。对一个问题的提出、假设和猜想是用形象思维，要说明其正确与否则是用逻辑思维实证。这是解决一个问题的两个方面。科学研究更是这样，仅靠逻辑思维是提不出问题和假设的，更不可能有创造性。单纯的形象思维往往只会得到表面的甚至错误的结论，不能深入下去。形象思维可以提出一种方向和道路，逻辑思维则可以去具体实现。

马克思在论述认识方法中的具体和抽象的关系时指出两条道路：“在第一条道路上，完整的表象转化为抽象的规定；在第二条道路上抽象的规定在思维形成中导致具体的再现。”形象思维与抽象思维的关系如同具体与抽象的关系。在第一条道路上，抽象的思维概念是从具体的表象中概括得到的，是具体的个别转化为抽象的一般的过程，这就是形象思维向抽象思维转化的过程，是形象思维的抽象化过程。在第二条道路上，因为了解的加深，抽象的概念逐渐变得具体化。抽象思维又转向了形象思维，抽象思维变得形象化。实际的思维过程常常是两种思维的交叉和贯通过程。以函数的概念为例，在初中刚接触函数概念，这是一个抽象的、难懂的概念，但随着学习的不断深入，函数变成一个个具体的内容。而且，每个人心中对函数形成的具体形象可能也不同，有的可能认为函数是一个图像，有的认为函数是解析式……到了高中，学习了函数的性质，如函数的单调性。函数的单调性的概念是一个新的抽象概念，而一次函数的概念在此就是一种具体的函数类型了，相比较抽象的“单调性”则显得具体化了。所以，思维的过程是形象与抽象交叉进行的。

2.数形结合中两种思维的合作

数学是研究数量关系和空间形式的学科。我们把“数量关系”和“空间形式”简称为“数”和“形”。数和形是数学的基本研究对象。数学是一门思维的学科，其中“数”主要代表了代数一块的内容，“形”则是几何内容的体现。代数内容以抽象思维为主，几何中多涉及形象思维。虽然将数学分成“代数”和“几何”两个主要体系，但两者之间是紧密联系、不可分裂的。纵观整个数学发展历程，就是一部数形结合的发展史。数产生于记数的需要，用来表示“数”的工具则是具体的图形，如我国古代的算筹和算盘。西方古希腊时期的毕达哥拉斯学派用沙滩上的石子来研究数，是早期的数形结合。欧几里得的《几何原本》奠定了几何学作为数学发展的基础地位，数作为几何量的度量而存在。他们用线段代替数，两数的乘积即为边长等于两数的矩形的面积，三数的乘积是体积。两数相加是一段线段的延长，减法则是从一线段减去另一线段之长。几何代数法的应用逐渐引出了解方程的问题，可谓代数发展的起源。此后，长时间内几何占据数学发展的统领地位，而代数方面的进展主要集中在解方程。几何与代数联系不甚紧密，直至坐标系的引入，使得代数与几何合为一体，数学才有了突破性的发展。笛卡尔创立了解析几何，在数学中引入了“变量”，数学开始由常量数学向变量数学进行转变。解析几何是代数与几何结合的产物，是数学史上的伟大创造。微积分的创立则是数形结合的进一步成果，解析几何与微积分被誉为数学发展的两大里程碑。拉格朗日曾说：“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”