高中数学教学：数学思维能力及其影响因素

（一）数学思维能力的界定

关于数学思维能力的界定，可以从两个方面来考虑，即数学思维和数学能力。关于数学思维的界定，并没有统一的定义，在此列出几个具有代表性的观点。其中，叶立军认为，“数学思维从属于一般的思维，它是人脑对数学对象理性的认识过程，是对数学学科的本质属性与数学对象间关系的反映”。在这个定义中，叶立军指出了数学思维的主体（人脑）、客体（数学对象）、内容（数学的本质属性和数学对象间的关系）和过程（理性认识的过程）。王仲春认为，“数学思维是指人类关于数学对象的理性认识过程，包括应用数学具体解决各种实际问题的思考过程”。从中可以看出，王仲春教授强调了数学应用的重要性以及数学思维在应用数学知识解决问题中的重要性。相比较叶立军的定义中的“数学的本质属性”，“应用数学知识解决问题”这个定义更具体一些。张乃达认为：“所谓数学思维，就是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系本质的一般性认识的思维过程。”这一定义指出了数学思维体现在数学问题的发现和解决的过程中，并说明了数学思维的对象是“现实世界的空间形式和数量关系”。由以上对数学思维的分析可知，数学思维从属于一般思维，是从数学的角度来分析、思考和解决问题的一种思维活动。

再来看什么是数学能力。我国数学教育的过去是注重传授学生数学知识，现在越来越多的人认识到数学教育的目的应该是培养学生能力。数学考试的命题的原则之一也是以能力立意。那么，什么是数学能力呢？苏联心理学家鲁捷茨基在《中小学数学能力心理学》一书中所确定的数学能力包括九个组成部分，这九种能力概括起来就是“形式化”的抽象能力、记忆能力和推理能力。我国长期流行的说法是“三大能力”：数学运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力。20世纪90年代以来，国家强调“素质教育”和“创新教育”，数学教育开始强调数学的应用性。在“三大能力”的提法的基础上，将“逻辑思维能力”改成“思维能力”，从而将归纳、猜想、发散和形象思维等非逻辑思维也包含在内。2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》将数学能力分成一般数学能力和数学学科特有的“数学思维能力”。其中，前者主要包括学习数学新知识的能力、探究数学问题的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、数学创新能力，后者主要包括空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系建构等。数学思维能力具体又可以分为以下十个方面：数学感觉与判断、数据收集与分析、几何直观与空间想象、数学表示与数学建模、数学运算和数学变换、归纳猜想与合情推理、逻辑思考与演绎证明、数学联结与数学洞察、数学计算与算法设计、理性思维与建构体系。

综合以上分析可知，数学思维能力是数学能力的一种重要表现形式。数学思维的能力体现在数学思维活动中，主要是以数学问题为载体，发现问题、分析问题、解决问题的能力都是数学思维能力的具体体现。数学思维能力既包括一般思维能力中的综合、分析、比较、判断等能力，也涵盖了数学学科特有的空间想象、直觉猜想、演绎证明、归纳抽象等特殊的思维能力。

（二）影响数学思维能力的因素

数学思维结构是数学思维的主要研究对象。弄清楚数学思维的结构，有利于掌握思维的发展规律和学生思维的发展状况。数学思维主要包括数学思维内容（方式）、数学思维品质、数学思维能力和数学思维方法四个方面。数学思维内容（方式）指的是对数学知识的吸收、应用和转化的方法，是在长期学习数学知识的过程中形成的，如函数思维、对应思维等。数学思维的品质是数学思维能力水平的具体体现，主要指思维的广阔性、深刻性、独创性、批判性和灵活性。比如，善于独立思考、理解能力强、思维灵活就是思维能力强的一种表现。而思维方法比思维能力更具体，指的是人们在处理各种问题时采用的一般方法。数学思维能力的获得一方面需要以数学知识作为载体，在学习数学知识的过程中，领悟数学思维方法，并将其进行归纳总结，提高思维的品质。另一方面，思维是一种心理上的认知活动，思维能力的水平与学生的智力和非智力因素都有密切关系。以下将从三个方面（数学知识与语言、数学思维方法、情感智力）来分析其对思维能力的影响。

1.数学知识和语言是思维活动的基础

思维是借助于符号在人脑中进行的活动。人们进行思维活动的对象实际上并不是真的存在头脑中，思维涉及的外界事物是一种符号化的语言。这些符号是客观事物的代表，也是人们进行思维活动的凭借，人们借助于这些符号进行思维活动。因此，符号就是人们思维中代替真正事物的心理的东西。数学知识是进行数学思维活动的基础，数学中的定义、公式、法则、定理等是数学思维的基本单位。而且，数学知识是高度概括性的，以一种非常简洁的状态呈现出来，外延很广。数学包含了自然语言、符号语言和图形语言三种语言。掌握数学基础知识和数学的表示方法是数学教育的主要目标之一，脱离了数学知识谈数学思维能力的培养无异于无源之水、无本之木。数学知识的包含范围很广，不仅表现为数学概念、定理、法则、公式等“言语信息”，而且还表现为数学思想方法等“策略性知识”。在此，仅采用狭义的定义，指“言语信息”类的纯数学知识。新课程标准对每一个知识点的教学目标都有明确要求，具体有“了解”“理解”“掌握”“应用”“迁移”等标准。对于数学知识而言，最重要的一个步骤是理解。数学知识很多需要在理解的基础上加以记忆，特别是高中数学。比如，对于交集概念的理解，如果学生只是记住了求交集的方法，而不理解交集的概念，那么他们就可能会在解不等式组时对是取交集还是取并集感到迷惑不解。数学知识的理解是进行数学思维的前提。数学思维很多时候是逻辑思维，掌握数学知识之间的逻辑联系也是进行数学思维活动的必要条件。一个命题本身可以作为条件，推出新的结论，也可以反推得到这个命题的条件。一个流畅的数学思维过程少不了对数学知识整体结构的把握。

2.数学思维方法是思维活动的导航

人们在遇到问题时开始思维活动。数学问题是数学思维活动的起点，思维表现为一种想法、思路，它是问题对人脑的刺激所产生的反应。这些想法可能有利于解决问题，也可能会阻碍问题的解决。要使得把问题的初始状态连接到最后的解决状态，实现思维的作用，就要依靠思维方法的引导。如果把数学知识比喻为数学思维的原料，思维方法就是加工厂。数学思维方法大体上可分四个层次：第一，基本的和重大的数学思想方法，如模型化方法、概率统计方法、微积分思想；第二，与一般科学方向对应的数学方法，如分析、综合、比较、归纳等；第三，数学中特有的方法，如数形转化方法、关系映射反演方法、公理化的方法等；第四，中学数学中的解题技巧，主要应用于初等数学，如换元法、待定系数法等。

3.学生的情感和智力是数学思维顺利进行的保证

思维活动需要认知能力作为保证，一个一般智力发展不足的人，难以谈及数学思维能力的发展。基本的观察、记忆、分析能力是任何思维活动都不可缺少的条件。智力因素是一方面，非智力因素对思维的进行也有非常重要的影响。数学是一门较难学的学科，数学的学习大部分时间都是脱离现实的一种思维性的活动，学生容易对数学产生距离感、厌烦和恐惧心理。在情感上，如果不能改变学生对数学的这种错误的认知，调动起数学思维的积极性，无疑会对其思维能力的培养有很大的影响。(www.xing528.com)

（三）提升数学思维能力的途径

数学思维能力的提升离不开数学知识的积累和数学思维方法的掌握以及情感的培养。以下将从三个大方面提出一些提升数学思维能力的具体途径。

1.理解数学知识，建构知识体系

数学学习过程是对数学知识的理解过程。理解数学知识是掌握数学知识的第一步，没有理解的“死记硬背”不利于思维活动的展开。理解数学知识，特别是一些基础概念，就要知道概念产生的背景，掌握概念的基本含义以及概念的延伸和拓展。还有一个重要方面就是，了解知识的来龙去脉以及其中体现的数学思想方法和科学价值等。在教学中，要从更高的层次来看待中学数学知识，站在高等数学的观点下深刻地理解和指导教学和学习。

事物之间的联系普遍存在，数学学科也不例外。数学知识是点状的，数学问题的解决需要将点状的知识连成网状的知识体系，即建立知识之间的联系。我国数学课程标准也要求教师注重联系，提高对数学的整体认识。接下来，以数学中最重要的概念——“函数”为例，简要说明如何建立知识间的联系。在人教版的教材中，虽然函数的概念（“变量说”）最早出现在八年级下册，但是函数的思想早已在小学阶段出现。比如，一个蛋糕分给两个人，一个人分一半，另一个人也分一半；一人分三分之一，另一个人分三分之二。这里隐含的不就是函数思想，即一个量随着另一个量的变化而变化吗？高中阶段在集合论的观点下又给出了“对应说”的函数概念。“变量说”相对来说更好理解，而“对应说”的内涵更丰富，因为它指出了函数的定义域、对应法则和值域等。不同阶段给出不同的函数概念，一方面是顺应了学生的智力发展水平，另一方面是体现了函数概念的历史发展顺序。函数概念是一个总概念，每一类函数才是具体的研究对象。初中介绍了正比例、反比例、一次函数、二次函数，而高中又介绍了指数函数、对数函数和三角函数。数列也是一种特殊的函数，甚至大学的数学分析、实变函数和复变函数都是以函数作为研究对象。以函数为核心概念，可建立一个庞大的知识体系。了解函数概念的内涵及其发展，对于我们思考函数问题具有极大帮助。比如，把数列看成函数，等差数列的通项就是一次函数，前n项和是二次函数。将数列的问题可以转化为函数问题，思维便从一个领域跳跃到另一个领域。

2.领会思维方法，提高应用水平

笛卡尔曾经说过：“最有价值的知识是关于方法的知识。”从某种程度上说，方法是对事物发展规律的总结。掌握数学思维方法是解决数学问题的关键。教学中，让学生充分暴露其思维过程，有助于了解学生思维的特点以及局限性。教师可以给出问题让学生讨论，然后开始有针对性地提问。对于有思路的学生，可以问“你是怎么想到的”“你为什么会这样想”“你使用了什么方法？以前在什么地方用过这种方法？它还有可能用在什么地方？”对于没有思路或者思路受阻的学生，则可以问“你是哪里没想到？是知识点没掌握还是方法没掌握”等。这种训练方法有助于提高学生对自己解题过程的元认知，提高自己的解题反思能力，有助于教师给学生提供合适的指导。当然，数学方法的归纳总结也是必不可少的。数学教学实践中，教师更多的是教给学生基础性的、技术性的方法。学生了解了某一种方法，再去做大量的练习，并归纳总结该种方法所适用的题目题型。按照这一模式来做题的学生，数学成绩一般都还可以。然而，学习数学就只是这些方法和技巧的累积吗？这样就能锻炼出思维能力吗？做题是学习数学的基本功，然而这只是最基础的。如果不能从做题的方法提升到第二层次的数学思想方法层面，那么学完数学脑子里可能剩下的就只是无数的题目和方法技巧了，思维能力究竟如何则难以判断。数学思维方法是数学学科的核心，学习数学的一个重要目标是学习数学的思维方式。而这里的思维方式方法指的是第二层次及以上的思维方法。只有达到这个程度，才有可能将其迁移到日常思维活动中，真正实现学习数学的价值。当然，这也是思维能力高的一种具体表现。

3.重视情感教育，提升学习兴趣

在学习动机理论中，心理学家马斯洛曾提出了著名的需要层次理论。他认为，人有七种基本需要，分别是生理需要、安全需要、归属与爱的需要、尊重需要、求知与理解的需要、美的需要和自我实现需要。前四种为缺失需要，后三种是成长需要。只有缺失需要得到了满足，学生才有可能会去追求知识。学好数学，需要坚强的意志力以及不怕失败和挫折的恒心与耐心。一些学生学不好数学的重要原因是没有钻研精神，思维上遇到困难就想放弃，不愿多动脑筋。一旦养成了这种习惯，数学可能越学越差，慢慢地就产生了对数学的厌烦和恐惧，形成恶性循环，就更难学好了。这时，教师的关心和鼓励就非常重要了。对于一个即将对数学学习失去信心的学生，教师一句真挚的鼓励的话语、一个亲切的关心的动作，都有可能重燃学生的学习信心。发挥教师的个人魅力，让学生喜欢教师，从而喜欢数学。对于学生的错误，可采取延迟评价。学生能够去想问题，且有自己的思路已属难得，不管结果对错，都是思维劳动的成果。对于错误，不要急于评价，要给予学生充分的思考时间，并给予适当的鼓励，即“再想想，相信你一定能做出来”，激发其思考动力。

数学是中学所学科目中最抽象的学科，特别是高中数学，大部分内容很难与实际联系起来。数学的高度抽象是其特点，也是数学广泛应用性的保证。然而，对于学生而言，抽象事物理解起来是非常困难的。这就要求教师进行巧妙的教学设计，来吸引学生的注意力，激发学生的学习积极性，提高学生的学习兴趣。根据教学要求创设教学情境，引起学生的认知冲突，善于设疑，引导学生去发现、探索数学知识。好奇心是重要的学习动力来源。一个设计巧妙的教学情境可引发学生的学习欲望、竞争的欲望和创造的欲望。