例3：已知直线l过点（1，-2），请你再写出一个条件，使得直线l的方程是2x+y+4=0。
教学目标：让学生回忆确定直线方程的几种方法，建构用点斜式、两点式、截距式求直线方程的内容结构，使得学生熟练掌握确定直线方程的方法，培养学生数学发散思维，形成理性的数学观。
教学策略：本道关于直线方程的开放题应置于必修2第三章第2节之后，或者在期末复习、高考总复习之后。这样设置的原因是，能够唤起学生对确定直线方程方法的思考，检验学生的基础知识，又发散他们的思维，在思考中完善这部分内容知识结构。教师首先要让学生独立思考，然后用数学语言表达解题思路，培养学生独立思考的习惯和数学语言表达与交流的能力，接下来让学生回忆确定直线方程的方法，每种方程都需要具备什么样的条件，由此本题可以从几个方面来确定条件，步步紧扣，达到发展学生逆向思维的目的。
分析：这道题属于条件开放而结论确定的开放型问题。在结论中确定了直线方程，教师要及时启发学生在头脑中搜索确定方程的条件，考查了学生对求解直线解析式知识点的掌握。能够确定方程的条件包括：①点P1（x1，y1），②点P2（x2，y2） （其中x1≠x2，y1≠y2），③斜率k，④横截距a，⑤纵截距b。其中任意两个都可以确定某直线方程，让学生找条件，就要求学生的思维要发散。
思路一：条件是直线l过某一定点。可以先给x≠-1（或-2）的任一值，如x=0，即得求出相应y的值为-4。所以，符合题意的条件可以是“直线过点（0，-4）”。
思路二：条件可以是直线l的斜率。比如，“直线l的斜率是-2”，此条件可以转化为“直线l与直线4x+2y-3=0平行”“直线l的倾斜角为
“直线l与直线2x-4y+7=0垂直”等。
思路三：条件可以是直线l的横、纵截距。比如，“直线l在x轴上的截距是-2”“直线l在y轴上的截距是-4”“直线l在两坐标轴上的截距是-6”“直线l在x轴和在y负半轴上的截距的积是8”，在深一层可以转变为“直线l夹在两个坐标轴间的线段恰好被点（-1，-2）平分”等。
以上这三种思路是最基本的思路，实际上可以列的条件还有很多。通过这种题型的训练，可以使学生的思维更加广阔、更加发散。对于同一个问题，要求学生从多角度全面思考，锻炼学生数学发散思维和数形结合思想，培养数学创新思维能力。这样的题型还适用于其他曲线，如“已知圆心过点（-1，5），请你再写出两个条件，使圆的方程是x2+y2-2x-4y-4=0”。
例4：过抛物线y2=-2px焦点F的直线和此抛物线相交于A，B两点，由此可得出哪些结论？
教学目标：熟练掌握抛物线内容的基础知识，能够运用数形结合思想将几何与代数联系起来，降低解题难度，并让学生经历观察、画图、分析的过程，培养发散思维，鼓励学生大胆表达自己的结论，给不同水平的学生发挥的空间，以获得自我效能感。
教学策略：首先，教师应鼓励学生全员参与该题的讨论，培养学生积极的求学意识和勤于思考的好习惯，让每个处于不同水平的学生都能够得到展现的机会；其次，教师在解题前需要引导学生回忆抛物线的图像与性质，然后可以依照学生的学习程度，从三个角度给出思考方向。
分析：这道题是由封闭题改编的，原题是“过抛物线y2=-2px焦点F的直线和此抛物线相交于A，B两点，求证A，B两点的纵坐标之积为-p2”，舍去结论就变成了开放题。这样的改编不仅能够照顾到所有的学生，使各个水平的学生都能够得到不同结论，体验到做题的成就感，获得自我效能感，而且也模糊了求证的终点，为学生得出不同结论提供机会，给学生发挥创造性思维的机会。(www.xing528.com)
解：这道圆锥曲线的题可以从以下三个角度去思考。
从几何角度：
①当直线的斜率k发生变化时，AB的长和最小值是多少？
②可以求线段AB的中点及其轨迹方程。
③∆AOB的面积有无最大值？最大值为多少？
从代数角度：
用直线的斜率k和p来表示点A，B之间的关系，如xAxB，xA+xB，yAyB，yA+yB。
从综合几何和代数的角度：
分别过点A，B作抛物线y2=2px准线的垂线，并且设垂足分别是C，D，提出的问题可以是：①以线段AB为直径的圆与直线CD有什么样的关系？②以线段CD为直径的圆与直线AB有什么样的关系？
从上面三个角度进行思考，这样层次清晰的思路能有效地帮助学生掌握抛物线的概念、性质等基础知识，将几何与代数结合起来，进一步深化数形结合思想的运用，主要培养了学生直观想象这一核心素养。
教学总结：从上述两道例题的分析和求解的过程中，我们可以看到，创新型开放题不仅能够完善和加强学生所掌握知识的结构，而且能够巩固学生基本知识和基本技能以及加深学生对数学思想方法的理解。因此，在教学过程中，教师应该在一段时间的学习之后，充分利用开放题对学生进行训练，将教学的知识点与开放题有机结合，引导学生积极探索问题，以期达到熟练掌握相关内容的目的。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
