高中数学教学实例分析--核心素养与高效方法

例1：

原题：如果x，y满足（x-2）2+y2=3，那么的最大值为（）。

教学目标：掌握圆的方程的基础知识，能够在平面几何的问题中熟练运用数形结合思想解题，进而培养学生的直观想象素养，同时能理解结论“求的最大值”要考查的问题的本质，能够在原有认知结构中找到解决该问题的数学思想方法，体会解决问题的满足感。

教学策略：在教学活动中，教师首先要确定该创新型改编题在本节内容中所起的作用，以及该题的整体教学思路和教学目标。本道题应置于圆锥曲线之后，通过逐层改编，由浅入深，循序渐进地增加难度，让学生在相似的解题思路中不断熟悉圆锥曲线的相关内容，完善学生的整体知识结构，考查学生灵活解决问题的能力，培养直观想象素养以及逻辑推理素养。

分析：本道题难度一般，考查的是人教A版必修2中第四章圆的方程和第三章直线与方程的相关内容。首先教师应启发学生分析题目背景（圆的方程），然后找出条件和结论，将条件给出的信息全部翻译出来，即圆心为（2，0），半径为。结论的问题本质上是想要考查哪个数学知识点？本题难点在于表示点（x，y）与原点形成直线的斜率，当该直线位于与圆相切的位置时，此时的斜率是最大斜率。

改编1：如果x，y满足（x-a）2+y2=3，且的最大值为，那么实数a的值为（　）。

解：易知｜a｜﹥，圆心（a，0）到直线-y=0的距离d=，解得a=±2。

分析：相比较原题，改编题1做了小改动，已知原题的结论，求满足结论的条件中a的值，考查学生逻辑推理能力、运用逆向思维和数形结合的能力。教师应该引导学生将题目简单化，即“已知圆心（a，0），半径求a的值”，反向运用点到直线的距离公式，求出a的值。

改编2：如果x，y满足（x-a）2+y2=3，且的最小值为，那么实数a的值为（　）。

解：解法与改编1完全相同，a=±2。

分析：改编题2相较于改编题1只是将最大值改为最小值，考查学生对直线斜率的掌握程度以及帮助学生深刻理解本题思路线索。

改编3：如果x，y满足（x-2）2+y2=r2，且的最大值为1，那么实数r的值为（　）。

解：圆心（2，0）到直线x-y=0的距离(www.xing528.com)

分析：此题和改编1很类似，这道题已知结论，求解条件中的半径，也是考查了逆向思维和学生的综合素质。

改编4：如果x，y满足+y2=1，求的取值范围。

分析：由抛物线方程换成椭圆方程，考查学生知识迁移能力和类比思想的运用以及几个圆锥曲线的相关知识。教师可以将本道题留作小组作业或者让学生单独完成，有利于发展学生的综合能力。k这里，希望教师可以提前引导，因为有的同学会漏掉对k的分类讨论，要注意培养学生数学思维的严密性。

改编题1～4不同程度地体现出对原题的丰富拓展和创新，沟通了不同的数学知识和数学方法。

例2：

原题：若AB=2，AC=BC，则S∆ABC的最大值是多少？

教学目标：能够在几何图形问题中熟练运用数形结合思想，能熟练运用三角函数公式解决三角形问题，能将数学语言转化为图形语言，深刻体会转化思想的重要作用，培养学生逻辑推理、直观想象素养。

教学策略：在该几何图形解题的教学活动中，引导学生对原题进行深入的研究，正确启发学生运用三角函数的余弦公式和面积公式求解数学问题，培养学生数学运算能力和逻辑推理能力。在对原题解题思路和解题方法熟练的基础上，加大难度，不改变所考查的原有的基础知识，而考查学生转化的数学思想方法。

改编：已知等腰∆ABC中，BC为底边，一腰上的中线长为2，求∆ABC面积的最大值。

原题有两种解法：一是通过余弦定理，把面积问题转化为关于三角形边BC的函数问题，这样的解法会让计算过程变得复杂一些；二是建立直角坐标系，在直角坐标系中，利用解析几何的解法。但是，不容易想到求点C的轨迹，因为满足条件的点C的轨迹是一个圆，被叫作阿波罗尼斯圆，在教材的例题、习题中都有出现过，却没有在教材中正式提过这个定理，因此大家不会主动想到这个办法。学生首先要将题目的数学语言转化为图形语言，沟通代数与几何的桥梁，训练学生运用数形结合思想解决问题的能力，其次从问题入手，将三角形面积问题同用边角关系求面积的公式联系起来，考查了学生数学基本知识的掌握情况。

改编意图：如果设腰AC的中点是D，可以知道S∆ABD=S∆BCD，所以得到S∆ABC=2S∆ABD，这样就可以把求∆ABC面积的最大值问题转化为求∆ABD面积的最大值问题。原题学生已经做过很多次了，绝大部分学生基本掌握了做题思路，变换形式可以检测学生是否真的掌握这部分内容，考查了学生转化思想的运用，培养了学生逻辑推理素养。

教学总结：不管是对例1还是例2的改编，都是以数学学科基本知识内容为基础，万变不离其宗，教师要帮助学生参与数学知识的产生和发展过程，掌握数学知识的内涵和外延，了解数学本质。在解决一系列的数学改编题过程中，学生经历了解决原题时对基础知识的巩固阶段，然后经历了类比原题的解题思路和方法，从其他角度解决问题的阶段，并熟练地运用了数形结合思想、类比思想，发展了逻辑推理能力、直观想象能力和数学运算能力，进而培养了学生数学运算、逻辑推理、直观想象素养。