高中学生数学建模能力调查及教学方法分享

笔者曾经为高一学生设计过以下几道数学建模试题来检验他们的水平。测试题总分40分，第一题和第二题均为10分，第三题为20分。其要求学生在解决问题时，无论用什么方法解答，无论解答对否，都要写下解题过程或思考过程。

（1）某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦每千克为a元，二等小麦每千克为b元（b﹤a），现有一等品小麦x千克，二等品小麦y千克，若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？

（2）一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优待。”乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按60%的原价优惠。”这两家旅行社的原价是一样的，试就家庭里不同的孩子数，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式），并讨论哪家旅行社更优惠。

（3）现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2∶1，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3∶2。若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣。

学生在初中学习应用题时，脑海中会有一定的数学建模的思维，但是到了高中阶段还需要对这种能力进行加强。

对于日常所见的应用题而言，往往有以下特点：题干的条件较为清楚，结论唯一，学生在思考时很少去注重结论是否符合日常生活的实际情况，是否能够对模型进行修改和调整，而这几点恰好就是数学建模中需要重点注意的内容。对于数学建模而言，有相当一部分试题属于应用题的类型。因此，数学建模所涉及的范围很广，其中很多问题都是非数学领域中的问题。所以，数学建模的过程需要对初始问题进行相应的分析、假设和抽象，通过数学的公式、定理来解答数学模型，求解得到模型的答案，再进行验证。(www.xing528.com)

通过对学生成绩的统计，第（1）和（2）题得分较高，得满分的人也较多。究其原因，是由于这两道题是常见的应用试题，在解决这两道问题时，学生的假设和所建立的数学模型不同，需要进行思考后来得到结论，题干给出的条件较为清晰，建模的过程也较为简单，因此在初中学习的基础上，能够正确进行试题的解答。而第（3）题的得分较低，其中得满分的人只有1人。这是由于本道题的材料较为复杂，数学化的过程较为复杂，跟数学建模的过程很像，加之学生的数学建模能力较弱，所以整体得分不甚理想。通过对学生分数的分析，笔者发现学生的成绩远低于预期的成绩。

数学建模的积极意义：

第一，数学建模可以提高学生的学习兴趣。在与学生的交流中，笔者发现大约一半的学生对数学建模的过程很感兴趣，这也能促进他们对于数学及其他课程的学习。有的学生说：“进行数学建模的学习有助于将数学知识应用于生活中。”有的学生说：“在课堂上所学的内容偏重于理论，而数学建模则贴近于生活，充满趣味性，我们愿意研究这样的问题。”还有的学生说：“我能够深切地感受到数学与生活的紧密联系，感受到数学的巨大应用价值，对数学重要性认识更加深刻，从而也愿意进行实际应用。”实际上，数学建模将教材中的内容外延到日常生活之中，为学生展示了一个由数学组成的现实世界。数学建模问题，如人口增长问题、路径最优化的问题、正多边形密铺地面、手机套餐的选取等问题，都贴近实际生活，有较强的趣味性，学生容易对其产生兴趣，这种兴趣又能激发学生去更努力地学习数学。

第二，数学建模可以激发学生的创造欲望。根据笔者的调查，有三分之二的学生认为数学建模的学习能够激发他们内心的创造欲。有的学生说：“课后的习题受到知识的限制，不能够发挥自身的创造性，而数学建模的问题开放性强，能够激发身上的潜力。”有的学生说：“数学建模问题是一个题干材料多种答案，但是假设不同所得到的数学模型也不同。”还有的学生说：“平时千篇一律的习题使我们的头脑僵化，而数学建模‘这边风景独好’，感谢老师赋予了我们可以纵情创造的空间。”在与学生的交谈中，笔者发现他们每个人都有创新的想法，头脑的思维特别活跃，但是高中紧张的教学造成教师没有过多的时间为学生创造展示自己才华的机会。而数学建模恰好可以弥补这种教学的不足，给高中生创造施展才华的平台和机会。不同层次和水平的学生遇到数学建模的试题会产生不同的答案，这有助于学生体会到成功的感觉。在学习的过程中，有的学生会在原有知识的基础上来进行拓展，从而得到新的问题，如“中山路上路灯的设计问题”等。

第三，数学教学应加强形象思维能力的培养。笔者所测试的第二题实际上有多种解题方法，一种是代数解题，另外一种则是图形解题。但是，在第二题的答案中，只有1人采取了图形的方法来解决。这就说明学生的数形结合的思想非常薄弱，因此需要加强对学生数形结合思维的训练。数学建模中的问题有些需要学生从图表中来收集信息和数据，如“股票的涨幅问题”“人口的变化问题”。因此，高中开展数学建模的教学有助于培养学生的创造性思维。