高效研究数学教学概念，助力核心素养

有了概念，学生就能够初步认识事物的本质，然后对事物的性质进行研究。一般来讲，研究的路径分为从宏观到微观、从整体到局部等，研究的方法则是对事例进行分析、综合，在归纳后再进行猜想。

在很多的问题中，学生需要知道在给定的区间上f（x）怎样达到最大值或最小值。例如，长度为a的正方形铁皮，如果将四边剪去边长x变成无盖正方形，则当x取多少时，体积最大？此外，还有一些行程问题、路径问题等都需要求取最大、最小值。

单调性是函数学习的难点，在图形上表现为随着自变量x的增大，对应的函数值f（x）增大（减小）。在教学的设计中，教师要思考如何采用有效方法来突破x在区间D上的任意取值并用不等式的语言来进行表示等难点。

在初中教材中，学生已经有了对于函数单调性的直观经验，教师需要通过设置一些问题来将“任意”两字从学生的意识中激发出来，帮助他们感受到借助于代数符号可以用“任意”来刻画“无限”的数学方法。

问题：大家回忆下，在区间D上，当自变量x的值变大时，对应的函数值随之增大。请问大家能够用自己的语言进行表述吗？

追问1：在数学学习中，我们需要在定性研究的基础上开展定量研究。那么，“x增大”用量化的语言怎样描述呢？“对应的y值也随之进行变化”又怎样描述呢？

追问2：对于一个抽象的问题，借助于事例可以从中分析、归纳得到一般结论，那么借助于y=x2的取值表，能从表3-1中找到怎样的规律？

表3-1　取值表

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当x的值从1变化到1.5时，f（x）就从1增大到2.25；当x的值从1.5变化到2时，f（x）就从2.25增大到4；当x的值从2变化到3时，f（x）就从4增大到9；当x的值从3变化到4时，f（x）就从9增大到16……

追问3：大家抽象成符号化的语言，能否得出它们的共同点？

一般来说，当x从x1变为x2时，f（x）就从f（x1）变为f（x2）。

追问4：在上述问题中，对于x1，x2有何要求？取（0，+∞）上的某些数是否可以呢？能否用例子说明？

必须是对区间（0，+∞）内的任意两个数x1，x2，如果x1﹤x2，则有f（x1）﹤f（x2）。

总结：借助于符号化的语言，可以将上述过程视为：任取x1，x2∈（0，+∞），当x1﹤x2，都有f（x1）﹤f（x2）。

在上述设计中，通过体现函数的单调性本质，引导学生以具体函数为载体，思考函数变化的规律和结构，再运用数学符号来进行相应的表达。

在整个高中阶段的教学中，函数是其中的一条主线，因此如何让学生理解函数概念的本质，如何引导学生通过归纳、演绎来得到性质和解决问题就需要广大教师进行相应的教学实践。