高中数学教学：高效培养学生逻辑推理素养

（一）克服心理障碍因素的影响

通过调查分析情况，部分同学没有对数学推理产生兴趣，认为数学推理对于数学学习没有产生帮助，甚至会影响数学学习。有的同学对数学推理并没有清晰的认识，对其学习不抱希望。有的同学甚至看到表述稍微复杂的问题就直接选择放弃，不给自己也不给题目一个做对的机会。对此，教师应该帮助学生克服心理障碍因素。

1.应该培养学生对数学的兴趣

第一，树立正确的学生观。学生是拥有巨大潜力的发展中的人，并且具有强大的主动性和自主性。这就要求数学教师充分利用各种课程资源在数学教学中为学生提供丰富多彩的学习资料和更为贴切的教学情境。例如，充分发挥多媒体教学的优越性，在课件中穿插关于数学历史和名人事例的小视频，增加趣味性，放慢节奏，摒弃“填鸭式”的教育模式，引导学生对数学学习产生积极的情感体验，逐步培养学生的学习兴趣，进而树立学生的学习信心。从简单易行、生动形象的例子出发，让学生在数学学习中获得成就感，充分调动他们丰富的想象力以及独立思考的能力，从而在主观上产生对学习的主动性。

第二，充分了解和研究学生。也就是，既要了解学生的学习基础与认知特点，还要了解学生的生活实际、爱好、兴趣，从而有针对性地进行教学设计，恰当地呈现学习内容，展示推理过程，将数学推理准确鲜明地展现在学生面前。

2.培养学生对推理能力的正确认识

推理能力不仅局限在选修课本上，还存在于数学学习的各个领域，诸如函数性质中存在的演绎推理、复合函数解析式的归纳推理、数列中存在的类比推理与综合法的证明、图形关系的推理、不等式证明中的综合分析、新定义中的合情推理、先证后猜的数学归纳法等。数学推理能力在数学学习的各阶段各方面都有所体现。只有正确认识数学推理的重要性，才能使其自身有意识地提高自己的推理能力。

数学推理不是一个抽象的概念，它切实存在于各种数学活动中。在我们获得数学知识、论证数学结论、形成数学知识体系、培养思维品质时，无一不需要数学推理的存在。合情推理和演绎推理不仅可以应用于其他学科的学习之中，而且也存在于我们日常生活的方方面面。前者体现在中医通过望闻问切来诊断疾病，学者借助各种资料文献研究相关课题，科研工作者借助敏锐的观察力留意到某个特别的现象，从而大胆假设，还有现代仿生学的快速发展都离不开合情推理的思维能力。而后者严谨精确的特性使其成为推理证明过程之中位于合情推理之后必不可少的又一发展阶段。二者相辅相成，良好的推理能力可以让学生在将来走进社会时，无论面对什么样的工作性质都不会无从下手，让他们受益终身。

3.形成扎实的数学基础

思维能力调查问卷的结果显示，部分同学认为数学推理对数学基础知识的学习并无帮助。而实际上，数学基础知识与数学推理是相辅相成、相互促进的。扎实的数学基础，系统的数学知识体系，有利于学生推理能力的提升；反过来，推理能力的提高也能促进数学知识的学习，逻辑思维能力有利于学生进行数学的思考，用数学的思维方式来解决问题。高中生在初中阶段便已经形成一定的数学基础，养成数学学习习惯，并将这种学习方式迁移到高中数学学习中。

（二）明确各年级推理能力的培养目标

在笔者看来，高一学生的归纳推理能力与类比推理能力相当，高二、高三学生归纳推理与类比推理能力有所下降，而演绎推理能力提升。高二、高三学生在综合运用演绎推理和类比推理的方面上优于高一年级。我们目前的数学课程与数学教学活动重视演绎推理，而忽视了合情推理能力的培养。合情推理在素质教育要求我们培养学生创新精神与实践能力的方面却发挥着至关重要的作用。只有通过合情推理的猜想假设，再加以演绎推理的严谨证明，才能使数学真正发挥价值作用，数学推理才真正成为学生所要发展的核心素养之一。这就要求教师在教学中明确每个年级关于推理能力的培养目标。

1.高一学生应注意维持合情推理，发展演绎推理能力

高一学生还没有系统地学习高中数学知识，新入学的学生对于抽象复杂的高中数学产生不适。而学生合情推理能力的发展能使学生增强对自身的认可，提高自我效能感，增强学习动机。然而，应注意合情推理具有一定的局限性。这就要求数学教师能够不失时机地为学生提高演绎推理来解决数学问题，演绎推理严谨的逻辑性极大地丰富和发展着数学学科。因此，高一学生应在原有的良好合情推理的基础上更好地发展演绎推理。高一学生应注意合情推理与演绎推理的综合运用。

2.高二、高三年级发展演绎推理的同时不应忽视合情推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的过程。逻辑推理贯穿整个数学学习，而且也建立在合情推理的基础上。只有促进合情推理和演绎推理的共同发展，才能更好地丰富数学学习。

3.高中三个年级的学生均应加强对推理的重视

高二、高三学生的学习水平出现了明显的分化。有同学看到复杂题目直接放弃，不愿思考，不愿向同学、教师请教。针对学生特点进行有针对性的辅导，发现学生的薄弱点，个别问题个别辅导，普遍问题课上指导，不让一个孩子掉队，哪里跌倒哪里学会。

（三）恰当关注学生之间的性别差异

良好的学习动机有利于学生的学习。女生推理能力离散程度小，但总体水平稍逊色男生。女生对于推理能力有着清晰的认识，只是女生理性思维稍弱，需要多注重学生的群体差异，有的放矢进行教学，促进学生的发展，并公平看待学生。数据分析显示，性别对于推理能力无显著差异。教学中要一视同仁。

调查显示，高三学生的推理能力明显高于高二和高一学生，在此前提下高二学生的推理能力又优于高一学生。这是由于高一学生在刚刚学习高中数学的这个阶段尚未形成完整的知识结构，尤其是演绎推理能力明显低于高二、高三学生。对此，教师应在面对高一学生时，抓住这段培养演绎推理的关键时期。与此同时，同样重视合情推理能力的提升。高三学生经过知识的学习和积累，推理能力虽然高于高一、高二的学生，但是数据统计结果表明其离散性十分明显。这个阶段的学生经过知识的学习和积累，已经形成了自己本身的思考学习习惯，惰性较大的学生疏于在学习中运用数学推理能力，甚至有逃避问题的现象存在，这些现象从侧面表明了教师在教学过程中在一定程度上忽视了对学生推理能力的培养。

高中生思维活跃，拥有天马行空的想象力，在学习中善于尝试，喜欢挑战探索，教师应该充分利用这些特性，引导学生跨越教材提出自己的猜想，在此过程中肯定学生正确的猜想，同时对运用合情推理得出的错误猜想同样予以激励，留给学生试错的余地，通过数学猜想去探索数学问题，带领学生在合情推理的基础之上发展演绎推理的能力，强化对学生数学思维的训练，因势利导进而逐步提高学生的综合推理能力，做到均衡发展。整体而言，高中生的合情推理能力在高中阶段尚有相当大的上升空间，演绎推理能力随着知识结构的不断完善在高中后期也可以得到飞速提升。教师应善于观察总结，注意在学生的日常学习中将推理能力的培养长期渗透于教学内容各个方面，以免错过提升学生推理能力的良机。

（四）学校和教师应提高对推理能力的认识

首先，推理能力作为选修内容，目前面对强大的高考压力和升学率的要求，仍然尚未达到培养目标。学校应该要求教师转变观念，提高对数学推理能力的认识。可以适当组织一些教师培训活动，在专家学者的引导下对课标中的数学核心素养以及推理部分重新进行学习，也可以组织教师对此进行探讨和交流，互相切磋。教师作为教学活动的执行者，在教学活动中对新知识的理解和把握会对学生的学习产生直接影响。只有先做好一个学习者、研究者，之后才能在教学活动中结合学情做好一个实践者。

其次，不要以高考考不考、高考考多少为唯一的衡量标准。数学推理不仅仅是选修教材中“推理与证明”的一个章节，还应用于向量与立体几何的教学讲解中，还有代数的推理等内容中均有体现。在“统计与概率”中，要求教师在平时教学时从单一的掌握方法、掌握技巧转移到合情推理能力的提升上，不要一味地关注高考考分，大搞题海战术，而是应该给予学生独立探究知识的机会，深入浅出地引导学生去发现数学的本质，让学生从被动接受知识转变为主动探索学习。学生只有独立自主地积极参与到数学活动的探索之中，并在此过程中主动思考，“意会”出属于自己的东西，才是最重要的，才是真正有所裨益的。教师应在教学方式上寻求突破和创新，将教学重心有意识地从单纯的知识教授过渡到能力的培养上，摒弃高考考分理念。能力的形成固然是一个漫长的过程，有可能在短期内看不到效果，甚至会在某一阶段拉低分数，但是只有学生掌握了推理的思想方法，将其转化到自身的思维之中，才能抓住数学学习的本质，真正建立起数学的核心素养。因此，我们要把推理能力的培养设定为学生高中受教育阶段的一个长期目标。

最后，对班级学生进行适当的分层教学。调查结果显示，同一年级高中生的推理能力表现出了不同的特征，每个学生对于数学基础知识的掌握情况存在着不同的差异，学习态度、学习方法和学习能力更是千差万别，由此势必会存在学生的数学推理能力水平参差不齐的情况。因此，教师要充分考虑多种因素，对于不同水平的学生在教学过程中采取不同的标准，实行差异化的教学方法，并充分引导学生，完善基础知识，然后着重培养兴趣。对于有一定推理能力但基础薄弱的学生，带领学生发现数学问题的本质。对于推理能力和抽象思维更加完善的学生，则可以通过更高的要求和标准来激发学生对于数学的兴趣和内在潜力，促使学生达成更高的目标。因此，可以尝试根据学生推理能力发展的阶段性和个体差异，对班级的学生进行适当的分层教学。这样一来，学生可以在一个更适合自己的环境中更好地进行探究，找到属于自己的发展区。这样，不仅有助于学生推理能力的提升，而且也可以借此提高教学效率。诚然，分层教学的探索过程中会出现种种问题，这就要求学校和教师在教学中转变观念，将发展学生数学推理能力立足于学生的常态学习之中，大胆摸索，针对出现的问题时时进行合理的调整和完善。在日常教学中引导学生大胆地提出假设，不拘泥于教材和高考考点，鼓励合情推理，而后再严谨求证，发展演绎推理，因材施教使不同基础的学生都能形成良好的思维定式。

（五）挖掘教材，适时培养推理能力

教材是课堂教学的主要载体。教材内容的选择、形式的确定、框架的设置均符合课程标准的要求。而课程标准又为教材留有一定的开放空间，这就为教师教学提供了条件。教师由教教材转成用教材教，教的同时不断革新教学形式，在传授知识的时候不失时机地渗透数学思想，形成一定的数学推理能力，将推理能力的培养渗透在教材的各部分教学中。

比如，在人教B版必修一第一章第一节关于集合的概念中，集合是学生进入高中以来第一个接触到的抽象数学符号语言，需要学生具有抽象思维能力。在引入集合概念时，便可以通过一系列具体的实例来完成。例如，通过以下实例，你能归纳出它们的共同特征吗？

（1）西游记中的师徒四人。

（2）高一九班的全体同学。

（3）不等式x+1﹥0的解集。

（4）平面内到点（0，0）的距离为1的所有点。

（5）所有的正方形。

你能发现这几个例子有什么共同点吗？这些都是集合。你能给集合下一个描述性的定义吗？让同学观察实例，启发同学归纳抽象出集合的概念。师生共同探讨总结归纳，得到集合的定义。通过教师的启发生动而有代表性的实例，调动学生的积极性，引导学生进行数学归纳，得到新知。(www.xing528.com)

（六）变式训练，使学生掌握证明方法

高中三角函数有个非常大的特点，就是一道题可能有很多种解题方法。因此，在掌握一种解法之外，笔者会要求学生进行一题多解的训练，这有助于提升解题的能力。在学习的过程中，学生在完成三角函数作业的同时还会进行一题多解的训练，从不同的角度来进行题目的解答，这有助于开阔学习的思路，发散自己的思维，从而提升综合能力。此外，学生之间还要跟其他同学进行交流，发现他人思维的亮点，弥补自己的不足之处，通过探讨和交流使双方都能够有所进步。

例题：证明sin210°+cos240°+sin10°cos40°=

解法一：可以进行拆解，然后再利用和角的余弦公式进行求解展开。

∵40°=30°+10°，

∴原式=sin210°+cos2（30°+10°）+sin10°cos（30°+10°）

解法二：原式=sin210°+cos2（30°+10°）+sin10°cos（30°+10°）

解法三：利用正余弦定理。

由余弦定理得a2+b2-2abcosC=c2，又由正弦定理得

于是4R2sin2A+4R2sin2B-2·2RsinA·2RsinB·cosC=4R2sin2C，

得sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C，

故sin210°+cos240°+sin10°cos40°

=sin210°+sin250°+sin10°sin50°

=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°

=sin2120°=

解法四：原式

解法五：构造∆ABC，使∠A=10°，∠B=50°，∠C=120°，外接圆的直径为1。

由正弦定理得a=sin10°，b=sin50°，c=sin120°=sin60°，

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，

则得sin260°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos60°=sin210°+cos240°-sin10°cos40°，

∴sin210°+cos240°-sin10°cos40°=

注：α+β+γ=180°，则有sin2α+sin2β-2sinαsinβcosγ=sin2γ和cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1成立。

此外，这道题还有其余的解法，这些解法都是学生经过讨论而得到的。另外，题目的推广和引申能够加深学生对原有知识的理解。因此，笔者还会对本道试题进行引申来发散学生的数学思维。

（七）逆向思维，提升逆向证明能力

在数学思维中，逆向思维是容易被忽略的内容。对于教师而言，训练学生的逆向思维能力很重要。在学习中，学生往往由于思维的习惯很容易形成惯性，如习惯于公式和定理的正向应用，而忽略了逆向的运用，导致不擅长逆向思维，一旦遇到这样的试题，很容易丢分。为了帮助学生摆脱这种思维的定式，教师要在教学中加强逆向思维的教学，训练学生熟练应用逆向思维的能力，培养他们思维的灵活性。在教材中，只要留心就会发现很多逆向的知识，如性质定理与判定定理、映射与逆映射等内容。逆向训练能够帮助学生牢固基础知识，增强遇到难题时的应变能力，扩宽解题的思维，突破思维的定式，从而使思维进入新的境界。

例题：已知曲线Ck的方程为，试证对于坐标平面内任意一点（a，b），a≠0，b≠0，总存在Ck中的一椭圆和双曲线通过该点。

分析：如果从曲线系的角度来考虑，以x，y为主元，不能够有效地打开思路，但是如果从k的角度出发，当k﹤4，或4﹤k﹤9时，Ck表示的曲线分别为椭圆和双曲线，问题就可以简化为在区间（-∞，4）和（4，9）内来求取k值，使曲线Ck过点（a，b）。

证明：设（a，b），a≠0，b≠0，在曲线上，则有

整理得k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0，

令f（k）=k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2），则f（k）是一条开口向上的抛物线，

其中f（4）=-5b2﹤0，f（9）=5a2﹥0，

∴f（k）=0，即方程k2+（a2+b2-13）k+（36-4a2-9b2）=0，

∴在（-∞，4）和（4，9）内分别有一根，即对平面内任意一点（a，b），a≠0，b≠0，总存在Ck中的一椭圆和双曲线通过该点。