高中数学教学：有效案例研究解析对数函数

为了实践我们对高中数学概念教学的设想和思考，高一数学组的青年教师承担了这次的教学任务，即实践一堂有关于概念形成方式下的高中数学概念课，以此课展开对课程改革下的数学概念形成的教学模式和策略的讨论。“对数函数”是《普通高中课程标准试验教科书——数学（A）版》必修一“基本初等函数（Ⅰ）”部分的第二节，该节内容分“对数的运算”和“对数函数”两部分，共安排课时数为6课时，本案例为该内容第一部分的第1课时。经上课教师所在的备课组全体教师集体备课后，从概念形成的角度进行教学设计。

“对数函数”教学片段的呈现：

“对数函数”第二部分主要研究的是对数函数及其性质，其中包括对数函数的概念形成和对数函数性质的讨论及应用两方面。为了突出概念形成部分的教学，以下仅对教学中涉及的对数函数概念部分的教学情况加以呈现。

教师：数学是一种文化，包括任何数的发展都有其渊源。前面我们学习了指数的定义及其运算，这给对数的运算带来了极大的方便。随着科学技术的发展，又有新问题出现：16世纪末到17世纪初，随着哥白尼的“太阳中心说”的流行，使得天文学成为当时的热门学科。可是，由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。为了简化这些“天文数字”运算，苏格兰数学家纳皮尔通过潜心研究发明了对数及对数表，并迅速传遍欧洲大陆。开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算，而伽利略更是发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”恩格斯则把对数的发明和笛卡尔坐标系的建立、牛顿—莱布尼兹的微积分并称为17世纪的三大发明。

教师：我们再来看一个背景，1972年湖南长沙马王堆汉墓穿越历史的尘埃展现在世人面前，那么考古学家是如何知道这是汉代的墓葬呢？生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，而马王堆女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%。那么回答以下问题：若生物死亡1年后，碳14含量为x，生物死亡2年后，碳14含量为x2，以此类推t年后，生物体内的碳14含量是多少呢？

学生：应是xt。

教师：由生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，得到，根据这个式子你能求出x的值吗？

学生：

教师：马王堆女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，我们要根据这个含量推断马王堆墓葬的年代，你能列出求解时间的方程吗？

学生：方程是

教师：这个方程该如何求解呢？它其实就是一个求幂的指数的问题，在实际生活中也是常常会遇到的问题。比如，教科书中一开始给我们提到的“思考”就是要解决这样的方程。以前我们学习的种种运算已经不够用了，所以需要新的运算。而对数运算的产生为解决这些问题提供了切实可行的方法。今天我们一起学习了对数，看看纳皮尔是如何定义对数的。下面哪位同学来帮我们读一下对数的定义呢？

学生：一般地，如果ab=N（a﹥0，且a≠1），那么数b叫作以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。

教师：比较ab=N与b=logaN这两个式子，你能说说它们的异同吗？

学生：这两个式子中都有a，b，N，但是位置发生了变化。ab=N式子中a，b在同一侧，而b=logaN中a，N在同一侧。

教师：还有没有同样的呢？

学生：还有两个式子中a都是底数，且a的范围都是大于0且不等于1。

教师：很好，虽然两个式子中都有a，b，N，但对它的称谓也有所改变。a都叫底数，在ab=N中b叫作指数，N叫作幂；在b=logaN中，b叫作对数，N叫作真数。这些字母的称谓发生了改变，那么它们的取值范围是否会发生改变呢？

学生：不会。

教师：我们已经发现了底数a的范围都是大于0且不等于1，那么在b=logaN中，N的范围是如何呢？

学生：大于0的。

教师：为什么？

学生：因为在ab=N中，N的范围是大于0的。(www.xing528.com)

教师：很好，即0和负数没有对数。下面我们再来看看两类特殊的对数的表达。

（1）将以10为底的对数叫作常用对数，并把log10N记为lgN。

（2）科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底数的对数，以e为底数的对数叫作自然对数，并把logeN记为lnN。

教师：根据对数的定义，你能说说loga1的值吗？

学生：loga1=0。

教师：能解释一下吗？

学生：因为a0=1。

教师：那么logaa呢？

学生：logaa=1。

教师：解释一下？

学生：因为a1=a。

教师：很好。通过这两个特殊的例子，我们不难发现，在求对数时常常还需要转化为指数，即利用我们已经熟悉的知识来帮助求解。当然，这就需要我们能够熟练地转化指数和对数。下面我们一起来完成下面的练习，将下列指数式化为对数式、对数式化为指数式。

（1）54=625；（2）；（3）lg0.01=-2；（4）lg10=2.303。

“对数函数”教学案例分析：

第一，教师通过设置合理的情境使“发现学习”获取发现的动力和学习的必要性。教师一来并没有如教科书中直接通过指数给出对数的概念，而是谈了一段对数的发展史。通过这段历史的介绍，学生的头脑中闪现“对数发明如此的重要，那什么是对数”的问题。但是，教师并没有马上给出对数的概念，而是又介绍了一个有待解决的实际问题。学生一边回答教师的问题，一边更加迫切想知道对数是什么，对数怎样来解决这样的一个考古问题。正是有了这样的铺垫，学生对知识才如此渴望，才明白对数及其运算产生的必要性，才知道对数及其运算能够解决哪些问题，这是学生开始发现之旅的动力。

听了这堂课后，教师们在下面议论得最多的也是课堂的引入，大家都觉得引入得恰到好处：“没有为引入而引入”。“很好地激发了学生的学习兴趣”。

从这个案例中不难看到，教师不再像过去那样单一地讲解对数的概念。首先，介绍了对数产生的背景，让学生了解数学的文化，体会数学问题产生的渊源，从而使学生感受到数学的概念源于生活，也是人类不断进步的产物。其次，介绍了马王堆墓葬年代鉴定的问题，这不仅给学生留下一个实践、探索、思考的空间，而且从考古学这样一个神秘却常见的问题中使学生认识到数学知识学习的必要性，激发他们求知的热情和欲望。最后，再来介绍对数的概念时，学生不会觉得枯燥无味，同时也带着明确目的学习，增强了学习中自主探索的动力。

章建跃先生曾在《中学数学课改中的十个论题》一文中提到，教师应在学生感受概念产生的背景与让学生经历概念形成的过程中进行教学。对数学的学习首先是对一种文化的学习，其次是为了提高学生的个人能力而设置的，这种能力不能只局限于解题，而是要能够利用所学的知识去解决生活中遇到的数学问题。

第二，概念形成的过程中还应注重引导学生对概念的表述以及对概念间的纵向联系。这些年很多教师在提到数学能力时，都会提到数学的阅读能力。数学的阅读能力是数学学习过程中非常重要的能力之一。数学概念一般包含了大量抽象的文字和符号语言，常常造成学生的理解障碍。很多学生在平时学习过程中也常常将教材丢在一边，缺乏阅读的习惯，一旦遇到叙述稍微复杂的数学题目连题都读不懂，根本谈不上如何解题了。所以，在概念学习的过程中引导学生阅读概念，一方面可以让学生充分感受概念的简洁和严谨，另一方面通过教学强调数学阅读的重要性，促进学生的数学阅读能力提高。

另外，在概念教学中，注意与其他数学概念的纵向比较，通过这些概念的关联，进一步认识新的概念，并将新概念纳入在已有的认知结构中，形成概念体系，这对于加强新概念的理解和记忆都是非常有效的。从学生概念学习现状的调查中，对于相关概念容易混淆也是导致概念学习困难的原因之一，所以在教学中适时地比较相关概念、易混淆的概念，帮助学生克服困难，理清知识网络，不能忽视，也不能简单处理。

就这些方面，在课后的评课中，得到了听课教师的一致认可。该课中学生是整个过程中的“主体”，但教师在教学中起到了很好的引导作用，既为学生提供了源源不断的学习动力，又为学生构建正确知识体系搭好了“脚手架”。这节课在学生中的反馈也是很好的，很多学生都表示对对数概念的发展有浓厚的兴趣，对指数和对数的关系也比较清晰了。