抽象能力研究的背景及意义

“抽象”一词最早源于拉丁语中的“abstracio”一词，表示排除、抽取的意思。从古至今，无论是数学家还是哲学家，都认为数学的本质是在研究抽象的东西，而在辞海中对数学抽象描述为：“数学抽象是数学哲学的基本概念，指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特征的思维过程。”对于数学抽象而言，具有数量化、符号化和公式化的特点，决定了学生在学习时具有较高的难度。

数学抽象的基本形式分为两种：一种是从现实直接抽象，在实际的现象中排除一些性质，剩下的则是我们所需要的性质；二是进行概括归纳，提取出事物的一般性、本质的属性，再进行处理，这就是抽象的能力。数学抽象能力是学生做题最起始的一步，因此数学抽象的能力就成为数学教育亟待解决的重要问题。只有当学生具备了一定的数学思维水平和抽象能力后，才能透过题干和生活的表象来看到内在的本质，最终获得事物对象的本质特征和属性。随着新课改的深入进行，教学的目标从知识的传授变成了探究，这一过程的转变对于学生养成终身学习的习惯和发展都十分重要。

抽象能力处于数学核心素养的第一位，这也体现了它的重要性。数学抽象是指去掉事物的其他属性，只研究它的数学特性，主要包括以下两个方面：一是从数量和图形的关系中抽象得到数学的概念及关系；二是从事物的具体背景中抽象得到规律和结构，再运用数学的符号和语言来进行表示。针对落实到数学抽象素养，修订稿课标指出：“在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的经验活动。学生能更好地理解数学概念、数学命题、数学方法及其体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式来解决问题。”

最能体现抽象能力的教学就是学生的概念形成过程。在我国传统的数学教学中，教师往往注重学生的“双基”，即基础知识和基本技能的教学，以高考成绩作为教学质量高低的衡量标准，而忽略了最需要得到关注与重视的数学学习过程。需要注意的是，数学学科具有抽象性、逻辑性和严谨性的特点，要求学生要具备较高的数学思维能力和较强的综合能力，这也是影响他们学好数学的主要因素。基于上述原因，加之高中生的课业任务繁重、学习内容抽象等，导致部分学生觉得数学枯燥无味，很难听懂教师的授课内容，长此以往，学习的积极性和主动性大大降低，使得“被动学习”多于“主动探索”，发展到最后只能是机械式地套用公式来进行学习。新课标的展开要求学生要能够提升自身的构建知识系统的能力，这就要主动理解，最终提升抽象概括能力。

在人民教育出版社的官方网站上，专门有一个“中学数学核心概念思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”的栏目，其中列出了诸多关于数学核心概念教学的研究成果。笔者经过一番阅读学习后，受益匪浅的同时却也在心里总是泛起阵阵疑惑：

第一，数学概念若有核心概念之说，那是不是也有非核心概念之说呢？它们两者之间区分标准是什么？也就是说，在数学众多的概念体系当中，概念与概念之间并不都是处在同一个层次的，是否要有所区别呢？

第二，什么是数学核心概念？它有什么价值？在某一阶段的数学教学中，数学核心概念具体又是指哪些概念？

第三，既然数学概念有核心与非核心之分，那么反映到课堂教学中这两种概念的区别又在哪里呢？数学教学该通过哪些具体的策略来充分发挥其价值呢？

这些问题始终萦绕在笔者的脑海中。应该说，数学概念确实要有所区分。例如，函数与定义域这两个数学概念，一个是具有奠基性意义的概念，另一个只是一类数学对象约定俗成的名称，两者的内涵与外延相去甚远。若把内涵丰富的概念简单化处理，则必定造成概念的理解不到位；若把简单的概念复杂化处理，也必然造成教学负担的加重。所以，数学概念的确应该要详加审视，做到有所区别。

那么，该如何去区分不同的数学概念呢？以概念体系作为考查对象，以一个概念与其他概念之间的关联程度以及其在相关数学内容中的贯穿程度来区分，从而将数学概念分为核心概念和非核心概念是可取的。因为教师准确把握数学核心概念，对学生的数学学习而言，至少存在以下三方面的价值：

第一，加深对数学学科特点的理解。数学核心概念突出体现在其“核心”两个字上，但是这种“核心”的作用或地位是如何体现的呢？一般而言，数学内容之间的联系主要是在两个层面上发生的。首先是数学知识。理清数学核心概念与非核心概念之间的联系，能较好地把握数学知识之间的发生、发展脉络，这样于学生加深理解数学学科的特点有很大帮助。其次是数学的思想方法。数学的思想方法是数学的精髓，而这些往往又反映在具体的数学概念当中以及反映在数学概念的发生、发展过程当中。所以，从概念体系出发来考查各个数学概念，准确把握核心与非核心概念之间的脉络关系，有利于梳理及挖掘其中所蕴含的各种数学思想方法，从而进一步加深人们对数学学科特点的认识与理解。(www.xing528.com)

第二，进一步完善数学认知结构。数学作为一门重要的学科课程，对学生的认知、思维以及创造力等方面的发展具有至关重要的作用。但是，这种作用的发挥有赖于学生对所学数学内容层次性、条理性的把握，有赖于其对数学的概念、原理、思想方法等的融会贯通。从这个意义上来说，站在一个更为整体的层面而将数学概念分为核心与非核心，有利于学生形成更具层次性、条理性的认知结构。

第三，提高解决数学综合问题的能力。数学核心概念由于涉及较多的数学内容以及数学思想方法，因此在一定程度上来说，若能很好地把握数学核心概念，则对于综合运用数学知识的能力也会有显著的提升。

数学对象是通过概念来确定的，离开了概念，数学也就不再是数学了。从这一点来说，数学概念的重要性是不言而喻的。而上面也已述及，对数学概念的教学既要做到有所对待，又要有所区别，而数学核心概念的提出也正符合这一思维理念，同时也正是由于其至少具有上述三方面的学习价值，因此是值得研究、思考的。

高中数学课程作为一类衔接义务教育阶段数学课程和大学数学课程的基础课程，相比较而言，其内容进一步丰富、抽象、富于形式化，所选取的内容学科体系更为严密、系统，所蕴含的数学思想方法也更为深刻。所以，它的实施也相应地会有更高的要求。具体来说，依据《普通高中数学课程标准》教学建议部分的要求，在进行概念教学时，以下两点是值得注意的：第一，基本概念与基本思想方法的理解和掌握。这里新课程要求对一些核心概念和基本思想要贯穿高中教学的始终，帮助学生逐步加深理解。从这一点要求来看，新课程的实施也关注数学概念中的“核心概念”，而且对它的要求是“贯穿始终”，这些都体现着核心概念的重要意义。第二，注重联系，提高对数学整体的认识。也就是说，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。这个要求说明，数学教学应该要找到某些重要的数学内容，以其为载体，将高中数学内容串联起来，使学生获得的数学知识更具系统、更具广泛联系。而数学核心概念，从其字面的初步理解来看，这一类概念是处于一定概念体系中的，而且是具有“核心”作用或地位的。由此，若能通过对数学核心概念的教学，将其应有的教育价值发挥出来，那么可以很好地贯彻这一要求。所以，从这点要求来说，对数学核心概念展开研究也可为贯彻新课程教学提供一个重要思路。综合上述两点要求，为进一步推进新课程改革，展开数学核心概念的研究不仅是必要的，而且是具有重要意义的。

在当下如火如荼的核心素养的讨论中，学生的抽象能力需要得到加强是业界的普遍共识，因此教师需要重点培养学生的抽象能力。近年来，对于如何培养学生的抽象能力，国内外很多学者进行了深入的研究。这种研究主要从两个方面来进行：一个是对于数学抽象的方法、内容、形式等方面进行深入讨论，另一个是从如何培养学生抽象能力的方法入手进行探讨，这方面的论述较多。

目前，由人民教育出版社章建跃博士主持的“中学数学核心概念、思想方法教学设计研究”课题研究规模较大。自2006年开始，已在全国范围内组织一线教师及高等院校的数学教育研究工作者开展了八次课题会议，每次会议的研究成果都放在其网站上供广大数学教育工作者学习、交流和讨论，在国内产生了较为广泛的影响。但是，这些研究成果大都体现在“概念的解析”及“同课异构”等教学实践层面上，即强调如何在实践层面上突出概念的核心，数学核心概念的产生、价值、筛选标准等理论问题则强调不多。这也是笔者在阅读学习之后会出现诸多困惑之缘由。为进一步扩大数学核心概念的影响力，以笔者愚见，数学核心概念的理论建设要力争赶上其在实践层面的发展，使两者齐头并进，共同发挥其对实际课堂教学的指导作用。另外，以课题形式对数学核心概念展开专题研究的还有由浙江省衢州高级中学的吴光耀老师所主持的课题“中学数学核心概念教学设计基本模式的研究”。该课题的理论研究成果主要集中在数学核心概念教学设计模式的选择上，并指出了数学核心概念的形成与同化两种模式。这两种模式都是建立在心理学的基础上，而对数学核心概念的本质特征却考虑不多，因此这并未凸显核心概念的独特之处。所以，教学设计模式的研究还要在进一步深入分析数学核心概念理论的基础上展开。此外，还有一些相关的学位论文，它们都特别强调数学核心概念的重要性，或展开一些实证研究，或进行一些理论探讨，但都缺乏对数学核心概念进行系统的研究。笔者认为，要贯彻落实高中新课程的要求以及充分发挥数学核心概念在教学层面的价值，必须要对数学核心概念进行系统的探讨。

高中数学具有抽象度高的特点，一方面学生要具备一定的抽象能力才能把它学好，另一方面教师要注重在教学中培养学生的抽象能力，使之能够具备自主学习的能力。其中，数学核心素养之抽象能力是当前高中生最需要提高和培养的基本素养之一，广大教育工作者尤其是高中数学教师要注重在课堂授课环节针对性培养和提升学生的数学抽象素养，帮助他们改善在学习中的不足，提升整体素质。

在过往的论文论述中，孔凡哲对于数学抽象的概念进行了相关界定，论述了培养数学抽象能力所需要的一般步骤及教学过程中注意的问题。廖六生的研究成果则是阐述了各界对于数学抽象的认识，从数学抽象的主要表达形式、合理性、作用和感悟等方面入手来进行探讨，这有助于教师形成整体的思维。

覃冬季则是结合了课堂教学中的问题，注重于讲授如何培养学生的抽象思维，提出了培养的方法：首先，要将生活中的感性材料与形象思维结合，运用类比等数学手段对学生的知识进行迁移；其次，进行具体结合，从实际中的具体内容出发，上升一个高度后到达抽象理论高度，然后抽象得出概念与结论之间的关系，抽取得到事物的共性，使学生能够将所学的数学知识应用于实际之中来解决遇到的问题。

众所周知，概念教学的过程是最典型的数学抽象的过程，概念又是高中数学教学的重中之重，因此教师必须重视概念的教学工作。