线性二次调节在海洋智能无人系统技术中的应用

通过电磁扭矩驱动进行姿态控制是一个具有挑战性且困难的问题，难点在于控制扭矩的同时正交于地球磁场和磁偶极矩［扭矩控制在式（16.39）给出］。结果是，在磁场方向上不可能产生任何的控制扭矩，但实际上却产生了一个无法控制的子空间。幸运的是，这个子空间是时变的，因为当卫星改变轨道时，相应的磁场特性也会随着时间变化。因此，卫星对于高倾斜轨道是可控制的，比如ION的太阳同步轨道。

ION姿态控制系统是利用一个准周期二次线性调节渐近线，该方法与文献提到的控制方法类似。该部分首先提出与二次线性调节有关的理论，然后继续描述ION的必要设计，这个设计用来降低卫星旋转速度并使其达到稳定状态。

1）线性二次调节理论

线性二次控制问题是一个优化控制问题。现代大多数的控制文献都涉及这个问题，例如文献。在这个问题当中，假定有一个系统，这个系统的状态动力学参数是不变的，但是输入动力学参数会随着时间变化。

对于这个问题，下面的代价函数被分成两部分，如式（16.43）所示：

矩阵Q可以被认为是状态向量上的一个惩罚因子，主要用来阻止这个状态过大的偏离预期状态。R作为一个矩阵对过控效应进行惩罚，PT在最后的状态作为一个惩罚。所有这些矩阵都是不变的，从设计者的角度来看，除非这些矩阵有一些先验设计，否则他们不可能被视为一种改变动态系统特性的方式。因此，这些矩阵为最优控制问题提供了一种方法，这个方法用于处理状态偏离，所有的Q、R和PT都被视为正定矩阵。

线性二次调节的目标就是找到最优化的控制，在给定各种矩阵和初始状态条件的情况下使样本函数最小化。众所周知，这个问题的最优解是下列形式的一个全状态反馈控制。

矩阵P（t）是由下列的微分方程得到：

原则上，这个等式可以在封闭的形式下进行评估或分析，为了得到随时间变化的矩阵P（t），P（t）可反过来指定u*。

二次线性调节的一个特殊情况是矩阵B（t）是周期的。在这种情况下，对于T的一些值和所有的t，有

B（t）=B（t+T）　（16.46）

在这种情况下，如果正确地选择PT，会发现反馈增益矩阵也是周期的，周期为T。反馈矩阵的周期性可以用来证明：当点矩阵Q在普通条件下，最小值R趋于无穷大时，P（t）接近一个稳定状态的矩阵R。因此，对于较大值的R，期望用PSS矩阵对P（t）做一个合理的近似，t为实数。在这种情形下，最优控制定律变成以下形式：

为了得到Pss，注意到一个周期内的平均可被写作如下形式：

这些近似大大地简化了二次线性调节的实现过程，将这个近似值代入到式（16.45）的微分方程中，能解出下列代数Riccati方程中的Pss。

2）ION的二次渐近周期调节设计

为了将二次线性调节应用到ION的姿态控制系统中，状态向量包括相对于轨道参考框架的体固定坐标系下的姿态和角速度。仅仅用三个元素就可以来表征这个姿态，第四个元素是多余的。因此，六元素状态如下所示：

这个状态的前三个元素是姿态向量的三个元素。最后的三个元素是角速率元素。输入是由磁力矩产生的磁矩，如下所示：

u=m　（16.51）

动力学系统明显是一个非线性系统。而且，动力学状态是随着时间变化的。因此，为了应用二次线性调节理论，首先有必要对一个系统进行线性化。这个系统采用式（16.42）的形式定义：

参数w0是参考坐标系相对于惯性坐标系轨道速率的大小。在整个推导过程中，假设其为常数。对于非圆形轨道，角速度会有一些轻微的偏差。不管怎样，平均轨道速度可以用于计算。此外，对于区分参数I和是非常重要的，其中I代表单位矩阵，代表惯性矩阵的矩。最后，先前的系统动力学参数在计算线性系统时也会考虑到重力梯度的影响。

根据输入可以得到以下式子：

向量b是在体固定坐标系统的磁场向量。矩阵X是与叉积有关的正规反对称矩阵。它定义如下：

注意到，如果航天器仍然保持标称姿态，由于忽略地球自转的影响，将导致磁场发生变化，然后线性矩阵B（t）将变成周期的矩阵。因此，如果一个稳定矩阵能求解代数Riccati方程，则可将其视作最优解的近似值，那么这个假设是合理的。

积分控制有许多众所周知的好处，尤其是其可以使趋势稳定并减少噪声。为了将积分控制引进这个设计中，将先前系统作如下假定。引进一个包括三元、四元积分和先前状态的向量。

改进的系统为

改进的矩阵为

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计算C矩阵。在先前的讨论中，C是根据矩阵BR-1BT在一个轨道周期的平均影响下计算出来的。尽管如此，只有B矩阵是周期矩阵时才可使用其计算。因为实矩阵不是严格意义上的周期矩阵，所以必须对这个计算技巧进行略微的改进，通过计算近似一天中有效的数据和15个轨道周期内的平均值来实现。计算这种较长的积分也就是计算地球旋转的平均输出影响。因此，C矩阵的计算如下：

在这个算式中，磁场向量是在参考框架中计算出来的，因为在计算的过程中假定卫星在标称的方向上。仅仅只需要计算一次矩阵C。然后用这个矩阵计算式（16.49）求解代数Riccati方程中的Pss。

图16.14　计算Pss

一共有两个控制算法。第一个算法是通过离线计算得到矩阵Pss。这个算法必须在实现控制算法之前运行一次，这个算法可在图16.14中看到。通过计算15个轨道时间内标称磁场开始，然后用式（16.53）来得到矩阵B。下一步，用已经计算的矩阵B，选择点矩阵R的值，用式（16.59）计算矩阵C。同样，利用轨道角速度w0，再用式（16.52）得到矩阵A。然后将这些值代入式（16.49）中，最后便可计算出Pss。

在说明主控制算法之前，有必要将从太阳传感器获得的状态向量和磁力计测量值转化成二次线性调节中可以使用的形式。相对于惯性系，姿态确定算法可以计算卫星的姿态和旋转速率。使用下面的等式来转换角速度：

角速度wB／R可从下式获得：

为了在不同的参考框架中转换四元数，必须使用下面的等式：

图16.15　线性二次调节最优扭矩计算框图

式（16.62）中的符号⊗很重要，它代表四元数的乘法。通过转换姿态矩阵AR／I得到四元数qR／I。这些转换完成后，然后再描述线性二次调节控制算法，如图16.15所示。

使用式（16.53），用期望位置的磁场计算出矩阵B。然后再用式（16.58）计算新的矩阵。同时估计状态x用来得到增广状态，该增广状态是由式（16.56）定义，并由式（16.57）、式（16.58）辅助完成。这些结果以及已经计算的Pss矩阵和点矩阵R都被用来计算式（16.47）中的u。

3）来自原始算法的Q、R惩罚矩阵

选取矩阵Q、R中的元素有多种方法。在大多数情况下，用户搜寻一个特定系统的响应范围，这个系统响应由可用功率、最大稳定时间、初始条件等定义，而不是一般的稳定条件。因而，加权矩阵的选择应基于具体系统，该系统有着特定的航天器属性、轨道参数和用户定义响应限制。

第一个ION线性二次调节参数的估计值，通过凭直觉调整两个初试猜测值而得到，这个初试猜测值是由Paiaki在关于两个不同的航天器配置的文献中提出来的。尽管这种试验-纠错的方法提供了可接受的系统响应，但是团队成员决定利用先前的经验以及原始的算法来改善这些结果。

下面对原始算法进行一个简短的讨论并用其计算Q和R矩阵。

原始算法适合性确定。在下一章中将详细讨论原始算法在模拟器上的运行情况。模拟器已被设计成用两种不同的模型来对卫星进行操作。初始模型也称为速率阻尼模型，当卫星与部署者分离时，速率阻尼模型主要用于降低卫星初始的高旋转速率。第二个模型称为跟踪模型，惩罚偏离理想的状态。最终，必须为分离的加权矩阵Q、R找到相应的模型。

当航天器沿三个坐标轴的角速率大于0.1°／s时，速率阻尼模型就是有效的。当速率阻尼模型结束，跟踪模型开始，新的加权矩阵被控制者使用。虽然速率阻尼模型对航天器的实际姿态没有任何要求，只有模型改变速率的时候才会产生作用，跟踪模型尝试使卫星保持一个最优的固定姿态以确保仪表进行工作。当三个欧拉角都在设定的20个连续时间步长之内时，可以认为卫星达到了稳定状态。

虽然两个模型的加权矩阵是不同的，但是他们的目的是相同的，对于速率阻尼模型来说是使航天器尽可能快地达到最小的旋转速率，对于跟踪模型而言，是使航天器尽可能快地达到面向天底的状态。将求较小时间问题转化为求最大适应性问题，用最大的仿真时间减去速率阻尼时间和跟踪时间，仿真时间设置为15 h。结果表明选择的Q、R矩阵这种方案的适应性为0，不能在15 h内收敛，能产生最小时间的方案具有最大的适应性。

原始算法的设计。原始算法模型使用表16.2中的参数，该模型是建立在原始算法二次线性调节设计的基础上。

表16.2　原始算法特性

矩阵Q、R是对角矩阵，矩阵中的元素等于对角线上的元素，该算法利用这个性质减小问题的规模。特别地，矩阵Q的前三个对角元素是航天器四元数积分的权重，中间三个值是实际四元数向量元素的权重，最后余下的值是四元数向量元素的时间变化率权重。相似的是，R矩阵中的三个值是沿着航天器轴三个角速度的权重。

给s一个选择压力，则其会采样成对选择-替换联赛淘汰机制。操作员在群体中选择两个个体，比较适应值，将最好的个体放入子代。这个选择假定群体中的每一个个体都至少有一次选择机会，一般每一个个体平均有两次机会，被选中的个体作为子代群体的代表。因此能够保证群体中有最好的个体，该个体不会被联赛选择算法淘汰，而且在新的群体中胜算也很大。

交叉应用是一个发生概率为Pc单点的交叉。操作员通过随机选择将两个个体遗传到下一代群体中然后在交叉点产生变异。这个交叉会使得对个体的破坏最小，最多只会使一个加权矩阵值发生变化，从而避免对不同个体所表示的矩阵元素的干扰。

为了完成这种变异，首先构造一个对应群体大小的矩阵。矩阵中的每一个元素都是在0～1之间随机产生的。如果一个值小于Pm，则相应位置的所有值都会发生突变。这必须用一个随机的整数且不等于被替换的值来替换。希望Pm的值在每个位置保持最小的差异性，通过使用较小的值Pm≤1／n或者Pm≤1／I也就是Pm=0.01来实现。实验后发现突变概率小于Pm，收敛速率的增加表明搜索解空间的局限性。

提出的Pm、Pc的值和n需要进行多次迭代来达到一个收敛解，但是却增加了计算的次数。起初，收敛速率似乎就是一个所需最大化的变量，但是仔细研究表明收敛速率没必要是真实的。一个较快的速率会导致计算解空间的减小。一个较大的群体范围和相对丰富的Pm和Pc值，在可能最佳解中，原始算法就会有一个较大的搜索空间。虽然这个方法增加了时间消耗，这个缺点也是可被接受的，因为主要目的是找到航天器稳定问题的一个较优解，而不是在一些成功的搜索算法中快速地找到一个解。

原始算法的结果和分析。使用GA算法获得适应值远比使用历史经验值更有意义。使用加权矩阵的速率阻尼算法大约花费6 h，且该加权矩阵是由历史经验值猜测得到的，然而，最好的情况是仅花费1.16 h，通过原始算法实现同样的结果。这个结果不仅仅是四倍时间的改进。

为了更好理解动力学的结果，仿真软件输出电源使用、旋转速率和方向角的统计结果。选定的输出结果与之前运行结果的比较如图16.16和图16.17所示。仔细观察这些结果可知由原始算法得出的结论可能有一定的局限性，虽然原始算法确实能够达到卫星理想的状态，但是因为ION太大而不好控制，所以对于ION线性二次调节控制器最好的一种情况是，可能要求扭矩线圈在全功率的状态下工作一段时间。换句话说，原始算法采取一些明显的方法来降低角速度，这种方法是通过使用最大可用扭矩而不考虑功率的限制。

为解决这个问题，当对扭矩操作时，模拟器一直计算功率的消耗，当达到某个门限时，模拟器就会停止工作。操作扭矩的可用功率直接来自电池的功率，并且考虑了安全操作的边限。如果达到安全边限，扭矩停止工作，电池将会重新充电，并且也会对传感器重新采样。根据传感器新的读数，姿态被重新计算，新的占空比就会被上传到卫星来执行。另一种方法在原始算法中修改适应性功能，而不是在模拟器中修改，同时该方法也考虑到了可用功率的限制。如果违背了限制，这个适应度就变为0。

图16.16　最低点指向方向偏移比较历史猜测

图16.17　原始算法中的占空比与历史猜测的占空比的比较