古埃及单位分数的表示及有趣问题解析

古代埃及使用的分数除了2/3以外，往往表示为单位分数之和，这样给数学提出了许多有趣的问题，有些至今没有解决。一个问题是1的表示，如果用不同的奇数分母来表示，则至少需要9项，例如

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/33+1/45+1/385

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/35+1/45+1/231

它们的前6项都是相同的。1977年，李奇又提出一个11项表示法

1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/27+1/35+1/63+1/105+1/135

他还提出不管用多少项来表示，最大的分母至少是105。关于1的单位分数表示有一个一般的定理。当n＞77时，存在n的不等分析

n=x1+x2+……+xt(www.xing528.com)

其中x1＜x2……＜xt，使1/x1+1/x2+……+1/xt=1

另一个著名问题是表示的最小项数。原则上讲，2/n可以表示为两项单位分数之和，3/n可以表示成为三项单位分数之和，如果要求各项不同，也不难把2/n表示为不同的三项单位分数之和，例如：

2/3=1/2+1/61/6=1/7+1/42

2/3=1/2+1/7+1/42

但是对整数n＞1，是否

4/n=1/x+1/y+1/z

都有正整数解，也就是4/n都有三项表示，这个问题还没有完全解决，用计算机进行数值计算n≤108，这个猜想是肯定的，当n为一些特殊的素数时，这个猜想还没有完全证明。

相应有人猜想5/n=1/x+1/y+1/z

也都有正整数解，但只有n≤106时得到验证。