无理数分为根数和超越数-π和e的重要性

公元前550年，希腊数学家毕达哥拉斯发现毕氏定理(即我国发现的勾股定理)，他当时非常高兴，曾杀猪宰牛，广宴宾客，以示庆贺。在应用勾股定理求直角三角形的某一边时，就要把一个数开平方，这时可能开得尽，也可能开不尽，若开不尽便出现了无理数。

无理数分为根数和超越数两种，其中π和e是两个重要的超越数。如果一个数是某个有理系数的多项式的根，这个数叫做代数数，否则就叫做超越数。

首先说π。

π，在国外又叫鲁道夫数，在我国却叫祖率、环率、圆率等。

最先得出π～3.14的是希腊的阿基米德(约公元前240年)，最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密(约公元前150年)，最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之(约480年)，1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过262边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。

以上都是古典方法计算π值。

计算出π的准确的200位数字。

值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。

1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。

1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。

1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。

π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。例如，1777年，法国数学家毕封做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张等距为平行横线的纸，再准备很多长为2cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近π!π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。

我们再来说e。

在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢?

1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合?现已无法考证!

e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。

在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。

像电容器的充放电过程，也是按以e为底的指数规律变化的，以电容器放电为例，电容器的电压变化是随时间t作指数衰减的，即同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分?”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e=3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.54=39乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的。

1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。

有趣的是，π和e虽不能用有限的式子表示出来，但却可用无穷级数表示：

要补充说明的是：1882年德国数学家林德曼首先证明了π是超越数，从而完全否定了“化圆为方”作图的可能性。1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。这样人们逐步认识了有理数、无理数、代数数、超越数，建立了一个完整的实数系统。它的意义是十分巨大的出入相补原理。

我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：

《周髀算经》(简称《周髀》)，

《九章算术》(简称《九章》)，

刘徽《九章算术注》(简称《刘注》)，

《海岛算经》(简称《海岛》)，

赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》(简称《日高说》和《勾股说》)。

田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出体积问题。

我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。

以下将列举这些不同的应用。

所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，如果看作把△ACD移置到△ACB，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依出入相补原理有：

Ⅲ=Ⅲ′，□PC=□BO，……(指面积相等)由此得

PO×OS=RO×OQ，PQ×QC=RB×BC，……而PO=AR，OS=QC，PQ=AB，RB=OQ，……因而AR：OQ=RO∶QC，AB∶OQ=BC∶QC，……就是相似勾股形ABO和OQC、ABC和OQC的相勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。(www.xing528.com)

以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题。

在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：

其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：

明末耶稣会传教士利玛窦(1552～1610)来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使(4)式成立，再用比例理论作证。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M′使FM′=DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。

在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2+股2=弦2。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：

勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG=弦2，由此就得到勾股定理。欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为2000年来数学发展的一个重要的出发点。

在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。

除勾、股、弦互求就是开方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：

第一，知股弦差、勾，求股、弦(五题)；

第二，知勾股差、弦，求勾、股(一题)；

第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦(一题)；

第四，知股弦和、勾，求股、弦(一题)。

各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例作别证。

事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。

试以求55225的平方根为例。这相当于已知正方形ABCD的面积就是55225，求边AB的长。按我国记数用十进位位值制。因AB显然是一个百位数，所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计(《九章》中用“议”字)百位数字是2，因而在AB上截取AE=200，并且作正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。把AEFG从ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面积是55225-2002=15225。其次估计十位数字是3，在EB上截取EH=30，并且补成正方形AHIJ。从AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：FH，FJ，FI，面积依次是30×EF，30×FG，302，其中EF=FG=200，所以从ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面积是

15225-(2×30×200+302)=2325。

现在再估计个位数字是5，在HB上截取HK=5，并补作正方形AKLM，从ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面积和前同法应该是

2325-(2×5×230+52)=0。

由此知K和B的平方根恰好是235。

求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。

我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到11世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。

下面的例子取自《九章》，ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依出入相补原理得

ET=2EG=2KG=2×北步×西步”为实，以“南步十北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。

不仅应用开平方法可得问题(A)的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题(A)相当于：

(C)已知勾股积、勾股差，求勾、股。

大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得

勾股和2=4×勾股积+勾股差2。

由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。

宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以x(当时称为天元一)表长方形阔，那么问题(A)相当于解一个二次方程x2+ax=b，其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程(a，b都是正数)的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能性。

在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模(约780～约850)的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元16世纪，意大利数学家关于三次方程的解法，也完全是几何的。

如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到：

由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而极其困难的问题。欧洲直到19世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元1900年德国数学家希耳伯特(1862～1943)在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为23个问题之一。这一问题立即为德恩(1878～1852)所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。自此以后直到1965年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。