《斐波那契数列及其广泛应用》

中世纪最有才华的数学家斐波那契(1175～1259)出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛。

斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展。他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》(1202年，或叫《算盘书》)。《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家。继《算经》之后，他又完成了《几何实习》(1220年)和《四艺经》(1225年)两部著作。

《算经》在当时的影响是相当巨大的。这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。

在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”。斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌。他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。”

在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明。下面是书中记载的一个有趣的问题：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对?于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对?

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。

第1个月到第6个月兔子的对数是：

1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽、21分米长的地毯。

他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块8分米×21分米的地毯。”奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的魔术家，但您的算术怎么这样差呢!13×13=169，而8×21=168，这怎么办得到呢?”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块地毯裁成这样的四块。”

然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。(www.xing528.com)

奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢?地毯面积由169平方分米缩小到168平方分米，那一平方米到哪里去了呢?”

将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的重叠。正是沿着对角线的这点叠合，而导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸试一下。

涉及到四个长度数5，8，13，21都是斐波那契数，并且132=8×21+1，82=5×13-1。多做几次上述的试验，就可以发现斐波那契数列的一个有趣而重要的性质：

除此之外，斐波那契数列还有一些有趣的性质，例如：

若用[i]表示不大于i的最大非负整数，i为非负实数。=1，而=0，其中j、n为非负整数。则斐波那契数列的前n项和Sn为：

有兴趣的话，读者可以证明一下，或者参阅有关的书籍。

斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用。除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数。

生物学中所谓的“鲁德维格定律”，也就是斐波那契数列在植物学中的应用。

从古希腊直到现在都认为在造型艺术中有美学价值，在现代优选法中有重要应用的“黄金率”，实际和斐波那契数列密切相关。

优选法中的分数法：

1.所有可能试验个数恰好是an-1个

选在第an-1点和第an-2点上作试验，比较这两个试验结果；如果第an-1点好，就划去第an-2点以下的试验范围；如果第an-2点好，就划去第an-1点以上的试验范围。在留下的试验范围中，还剩下an-1-1个试验点，另一个是下一步要作的新试验点。两点比较后，和前面作法一样，由坏点将试验范围切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段。这时新的试验范围只有an-2-1个试验点了。由此类推，直到试验结束为止。

显然，用分数安排上述试验，在an-1个可能的试验中，最多只须作n-1个试验就能找到它们中的最好的点。

2.所有可能的试验个数大于某一个an-1，而小于an+1-1

此时，只须在试验范围内虚设几个试验点，凑成an+1-1个试验。于是，这类问题也就归结为第1种情况，就可按照上述方法去处理了。