数学教育大视野：素数类型Rn与Mn详解

在对素数的长期研究中，有几种类型的素数特别受到重视，这里介绍两种素数的类型Rn与Mn。

是一个n位数，n位都是1。Rn如果是素数，就称为Rn型的素数，例如R2=11就是Rn型的素数。显然，如果Rn是素数，n必定是素数。

这样的素数一共发现了四个，即R2，R19，R23，R317。从发现R23到发现R317，中间经历了50年的时间。R317这个素数，是1978年初，由加拿大数学教授威廉斯证明的。他在检验R317不可能有任何别的素数因子时，是用计算机来检验的。现在研究数论，大量的计算都是用电子计算机来完成的。

目前，人们猜想下一个Rn型的素数是R1031。

凡是形状是2R-1的数记作Mn，叫做麦什涅数，如果是素数，就叫做麦什涅素数。例如M2=3，M3=7，M5=31等是麦什涅素数。

人们证明了：如果Mp是麦什涅素数，p一定是素数。但是，不能认为p是素数，Mp就是麦什涅素数。例如M11=211-1=2047=23×89，就不是麦什涅素数。

1978年底，美国加利福尼亚大学的两个学生尼克尔和诺尔，利用电子计算机证明了M21701是素数。M2170=221701-1，是当时能写出来、并且能加以证明的最大素数。

我国在报导这一素数时，曾有过这么一段故事：

1978年11月21日，我国有报纸刊登了：

“〔法新社美国加州赫沃兹十一月十五日电〕两位美国学生发现了最大的已知质数221701。”(www.xing528.com)

报纸出版没几天，这家报纸的编辑部和很多科技报刊以及许多大学的数学系，就收到了大量的群众来信，内容主要是指出：

221701肯定是合数(2的倍数)，怎么能是素数呢?

后来，有的报刊更正说，新发现的最大已知素数，应该是221701-1，报纸上把221701-1的“-1”都丢了。

紧接着，一些数学教师就围绕着这个数据，出了一些供青少年解答的有趣的数学题目。比如

221701-1有多少位?头两位与末两位各是什么数?(答：有6533位；头两位是44，末两位是51。)

221701+1是素数吗?你能不能证明：若2m+1是素数，则m=2n。

到1979年底为止，人们已知的最大素数是244497-1。

值得注意的是：数学家在判断具体的Rn、Mn和Fn是不是素数时，虽然一般都要借助于大型电子计算机，但是困难的研究工作，还得靠人来完成。

例如，有人已经证明了216384+1(即F14=2214+1)是一个合数，可是无论用现有的什么样的计算机，也找不出它的任何一个因子来。因为人们还没有把这个问题，转化到计算机能帮得上忙的程度。