微机符号数的表示方法|单片机原理及应用

1.6.2.1　机器数与真值

机器数是一个数在计算机中的表示形式，一个机器数所表示的实际数值称为真值。上面提到的二进制数，没有提到符号问题，故是一种无符号数的表示。对无符号数，机器数与真值相同，此时计算机的全部有效位都用来存放数据，它能表示的最大数值取决于计算机的字长。对于n位字长的计算机来说，表示无符号的整数范围为0～2n-1，例如8位二进制无符号数表示的范围为00000000B～11111111B（即0～255）。

带符号数的习惯表示方法是在数值前用“+”号表示正数，“-”号表示负数。计算机只能识别0和1，对数值的符号也不例外。对于带符号的数，在计算机中，通常将一个数的最高位作为符号位，最高位为0，表示符号位为正；最高位为1，表示符号位为负。例如：

式中，等号左边的+18和-18分别是等号右边的机器数所代表的实际数，即真值。

1.6.2.2　带符号数机器数的3种表示方法

实际上，机器数可以有不同的表示方法。对有符号数，机器数常用的表示方法有原码、反码、补码3种。

1.原码

上述以最高位为0表示正数，1表示负数，后面各位为其数值，这种数的表示法称为原码表示法。换言之，设机器数位长为n，则数X的原码可定义为：

原码的特点：

（1）表示简单、直观，与真值间转换方便，数值部分即为该带符号数的二进制值。

（2）8位二进制原码能表示的数值范围为1 1111111 B～0 1111111 B，即-127～+127；对于n位字长的计算机来说，其原码表示的数值范围为-（2n-1-1）～2n-1-1，它对应的原码为111…1B～011…1B。

（3）0有+0和-0两种表示方法。由于“0”有+0和-0之分，若字长为8位，则数0的原码有两种不同形式为：[+0]原=0 0000000 B，[-0]原=1 0000000 B。

（4）用它做加减法运算不方便。若两个异号数相加或两个同号数相减时，必须做减法。

2.反码

对于正数，其反码形式与其原码相同，最高位0表示正数，其余位为数值位；但对于负数，将其原码除符号位以外其余各位按位取反，即可得到其反码表示形式。可见，n位二进制反码的定义可表示为：

例如，若字长为8位，则 对于正数[+5]原=[+5]反=0 0000101B，[+127]原=[+127]反=0 1111111 B；对于负数[-5]原=1 0000101 B，[-5]反=1 1111010 B，[-127]原=1 1111111，[-127]反=1 0000000 B。

反码的特点：

（1）表示较复杂，与真值间转换不太方便。将反码还原为真值的方法是：反码→原码→真值，即[X]原=[[X]反]反。即当反码的最高位为0时，后面的二进制序列值即为真值，且为正；最高位为1时，则为负数，后面的数值位要按位求反才为真值。例如：[X]反=10101010 B，它是一个负数，其中后7位为0101010，取反得1010101，所以负数X=-（1×26+1×24+1×22.+1×20）=-85。

（2）数0的反码也是两种形式。“0”也有+0和-0之分，若字长为8位，则[+0]原=[+0]反=0 000000；[-0]原=1 0000000，[-0]反=1 1111111。

（3）8位二进制反码所能表示的数值范围为1 0000000 B～0 1111111 B，即-127～+127；n位字长的反码表示的数值范围为-（2n-1-1）～2n-1-1，它对应的反码为1 00…0B～0 11…1B。

（4）用它做加减法运算也不方便。若两个异号数相加或两个同号数相减时，也必须做减法。

3.补码

正数的补码与其原码相同，最高位为符号位，其余为数值位。负数的补码即为它的反码在最低位加上1，也就是将其原码除符号位外各位取反加1而得到。因此，补码的定义可用表达式表示为：

例如，若字长为8位，则对于正数[+5]原=[+5]补=0 0000101B，[+127]原=[+127]补=0 1111111B；对于负数[-5]原=1 0000101 B，[-5]补=1 1111011 B，[-127]原=1 1111111 B，[-127]补=1 0000001 B，[-128]补=1 0000000 B。

补码的特点：

（1）表示也较复杂，与真值间转换也不太方便。将补码还原为真值的方法是：补码→原码→真值，而[X]原=[[X]补]补，即若补码的符号位为0，则其后的数值的值即为真值，且为正；若符号位为1，则应将其后的数值位按位取反加1，所得结果才是真值，且为负。

（2）数0的补码是唯一的。无+0和-0之分，若字长为8位，则[+0]补=[-0]补=00000000 B。

（3）8位二进制补码所能表示的数值范围为1 0000000 B～0 1111111 B，即-128～+127；n位字长的补码表示的数值范围为-2n-1～2n-1-1，它对应的补码为1 00…0B～0 11…1B。注意，原码、反码和补码三者中只有补码可以表示-2n-1。

（4）可把减法运算化为加法运算。在计算机机器内部，为了避免做减法，把减法运算统一转换为加法运算，即用一个加法器来完成加减法运算，引入补码可实现这一目的。

综上所述，可以得出结论：

（1）原码、反码、补码的最高位都是表示符号位。符号位为0时，表示真值为正数，其余位为真值。符号位为1时，表示真值为负，其余位除原码外不再是真值；对于反码，需按位取反才是真值；对于补码，则需按位取反再加1才是真值。

（2）对于正数，3种编码都是一样的，即[X]原=[X]反=[X]补；对于负数，3种编码互不相同。所以，原码、反码、补码本质上是用来解决负数在机器中表示的3种不同的编码方法。

（3）二进制位数相同的原码、反码、补码所能表示的数值范围不完全相同。对于8位二进制带符号数，它们表示的真值、机器数范围分别为：

原码：真值为-127～+127，机器数为11111111B～01111111B（即FFH～7FH）。

反码：真值为-127～+127，机器数为10000000B～01111111B（即80H～7FH）。

补码：真值为-128～+127，机器数为10000000B～01111111B（即80 H～7FH）。

而8位二进制无符号数的真值、机器数范围分别为：

真值为0～255，机器数为00000000B～11111111B（即00 H～FFH）。

（4）微机基本上都是以补码作为机器码，原因是补码的加减法运算简单，减法运算可变为加法运算，可省掉减法器电路；而且它是符号位与数值位一起参加运算，运算后能自动获得正确结果。

1.6.2.3　二进制数的加减运算

计算机把机器数均当作无符号数进行运算，即符号位也参与运算。运算的结果要根据运算结果的符号标志位（如进位CY和溢出OV等）来判别正确与否。计算机中设有这些标志位，它们的值由运算结果自动设定。

1.无符号数的运算及进位概念

无符号数的整个数位全部用于表示数值。n位无符号二进制数据的范围为0～2n-1。

（1）两个无符号数相加。若两个加数的和超过其位数所允许的最大值（上限）时，最高位就会产生进位，CY=1；否则，无进位，CY=0，结果正确。例如：下面两个8位无符号二进制数相加。

第1个例子，两数相加之和没有超过8位最大值255（上限），CY=0，结果127+16=8F H=143正确；第2个例子，两数相加之和超过8位最大值255，CY=1，结果127+160=1FH（即31）错误，但如果把进位CY作为最高位，则结果127+160=11FH（当作无符号数）=287就正确了。

（2）两个无符号数相减。若被减数小于减数，相减结果小于所允许的最小值0（下限）时，最高位就会产生借位，CY=1；被减数不小等于减数，无借位，CY=0，结果正确。例如：下面两个8位无符号二进制数相减。

第1个例子，两数相减的值没有低于8位最小值0（下限），无借位，CY=0，结果192-10=B6 H=182正确；第2个例子，两数相减的值小于8位最小值0（下限），有借位，CY=1，结果10-192=4AH（即74）错误，但如果把进位CY作为最高位，则结果127+160=14AH（当作补码）=-B6 H=-182就正确了。

由此可见，对无符号数进行加法或减法运算，其结果的符号用进位CY来判别：CY=0（无进位或借位），结果正确；CY=1（有进位或借位），结果错误，但若把CY记作最高位，结果就正确了。

2.带符号数的补码运算及溢出概念

（1）补码的加减法运算。微机中带符号数采用补码形式存放和运算，其运算结果自然也是补码。补码加减运算的运算特点是：符号位与数字位一起参加运算，并且自动获得结果（包括符号位与数字位）。设X、Y是两个任意的二进制数，补码的加减法运算规则为：

式中：X、Y为正、负数均可。该式说明，无论加法还是减法运算，都可由补码的加法运算实现，运算结果（和或差）也以补码表示。若运算结果不产生溢出，且最高位（符号位）为0，则表示结果为正数，最高位为1，则结果为负数。(www.xing528.com)

补码的加减法运算规则的正确性可根据补码定义给予证明：[X±Y]补=2n+（X±Y）=（2n+X）+（2n±Y）=[X]补+[±Y]补。

采用补码运算可以将减法变成补码加法运算，在微处理器中只需加法的电路就可以实现加法、减法运算。例如，若X=33，Y=45，采用8位补码计算X+Y和X-Y。

由于[X]补=00100001B，[Y]补=00101101B，[-Y]补=11010011B，则[X+Y]补=[X]补+[Y]补=01001110B，[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=11110100B。因此，X+Y=[[X+Y]补]补=01001110B=+78，X-Y=[[X-Y]补]补=10001100 B=-12。显然，运算结果是正确的。

从上述补码运算规则和举例可看出，用补码表示计算机中的有符号数优点明显：

1）负数的补码与对应正数的补码之间的转换可用同一种方法——求补运算实现，因而可简化硬件。

2）可将减法变为加法运算，从而省去减法器电路。

3）有符号数和无符号数的加法运算可用同一加法器电路完成，结果都是正确的。例如，两个内存单位的内容分别为00010010和11001110，无论它们代表有符号数补码还是无符号数二进制码，运算结果都是正确的。

（2）运算溢出的判断方法。由于计算机的字长有一定限制，所以一个带符号数是有一定范围的。8位字长的二进制数补码表示带符号数的范围为-128～+127，n位字长补码表示的范围为+2n-1～-2n。当运算结果超过这个表达范围时，便产生溢出。在溢出时运算结果会出错。显然，只有在同符号数相加或者异符号数相减的情况下，才有可能产生溢出。那么是否有一个便于操作的方法来判断是否产生溢出呢？先看以下4个例子。

【例1-5】

令CY为符号位向高位的进位，CY-1为数值部分向符号位的进位，此例中，CY=CY-1=0，结果在8位二进制补码表示范围内，没有溢出，OV=0。

【例1-6】

此例中，CY=CY-1=1，结果正确，没有溢出，OV=0。

【例1-7】

此例中，CY=0，CY-1=1，CY≠CY-1，产生了错误的结果，发生了溢出，OV=1。

【例1-8】

此例中，CY=1，CY-1=0，CY≠CY-1，同样结果是错误的，即发生了溢出，OV=1。

从上面4例可知，在例1-5和例1-6中，运算结果在8位二进制数的范围内，没有溢出，OV=0，结果正确，它们的共同规律是CY=CY-1；在例1-7和例1-8中，运算结果都超出了8位二制数表示的范围，分别产生了正溢出和负溢出，OV=1，因此产生了错误的结果，它们的共同点是CY≠CY-1。

综合以上4例的情况，可用下述逻辑表达式进行溢出OV判断：

式中：⊕表示异或，用一异或电路即可实现。这种方法称为双高进位法。

（3）进位与溢出的区别。从上面分析可知，进位与溢出是两个不同概念。进位CY是指不考虑是否有符号，按二进制位依次相加后最高位有进位，而溢出OV是指考虑有符号，当两个同符号数相加结果改变符号时出现溢出错误。具体地讲，进位CY是指两个操作数在进行算术运算后，最高位（对于8位操作为D7位）是否出现进位或借位的情况，有进位或借位，CY置“1”，否则置“0”；溢出OV是反映带符号数（以二进制补码表示）运算结果是否超过机器所能表示的数值范围的情况。对8位运算，数值范围为-128～+127。若超过上述范围，称为“溢出”，OV置“1”。

对于同一运算，溢出OV和进位CY两个标志不一定同时发生，例如，例1-7中出现OV=1、CY=0，而例1-6中出现CY=1、OV=0。当然，两个标志也可能出现相同的情况，例如，例1-5中出现了OV=0、CY=0，而例1-8中出现CY=1、OV=1。

根据前述知，进位标志CY用于表示无符号数运算结果是否超出范围，即使CY=1运算结果仍然正确；溢出标志OV用于表示有符号数运算结果是否超出范围，若CV=1则运算结果已经不正确。

实际上，对于无符号数来说，不存在溢出的问题，它的进位就相当于符号数中的溢出，而对于带符号数来说，不存在进位的问题。

1.6.2.4　二进制数的扩展

从上面分析可知，若8位二进制补码运算结果超出-128～+127时，则超出了8位表示范围，会产生溢出。产生溢出的原因是数据的位数少了，使得结果的数值部分挤占了符号位的位置。因此，为了避免产生溢出，可以将数位扩展。

二进制的扩展是指一个数据从位数较少扩展到位数较多，如从8位扩展到16位。一个二进制数扩展后，其数的符号和大小应保持不变。

1.无符号数的扩展

对于无符号数据，其扩展是将其左边添加0。如8位无符号二进制数E6 H扩展为16位无符号二进制数，则为00E6H。

2.带符号数的扩展

对于原码表示的带符号数据，它的正数和负数仅1位符号位相反，数值位都相同。因此，原码二进制数的扩展是将其符号位向左移至最高位，符号位即最高位与原来的数值位间的所有空位都填入0。例如，68用8位二进制数表示的原码为44H，用16位二进制数表示的原码为0044H；-68用8位二进制数表示的原码为C4H，用16位二进制数表示的原码为8044H。

对于补码表示的带符号数据，其符号位向左扩展若干位后，所得到的补码数的真值不变。因此，正数的扩展应该在其前面补0，而负数的扩展则应该在其前面补1。例如，68用8位二进制数表示的补码为44H，用16位二进制数表示的补码为0044H；-68用8位二进制数表示的补码为BCH，用16位二进制数表示的补码为FFBCH。

1.6.2.5　定点数与浮点数

以上各节介绍的数均未涉及到小数点的表示，当所要处理的数含有小数部分时，就有一个如何表示小数点的问题，那么计算机中如何处理小数点的问题呢？在计算机中并不用某个二进制位来表示小数点，而是隐含规定小数点的位置。

根据小数点位置是否固定，数的表示方法可分为定点表示和浮点表示，相应的机器数就叫定点数和浮点数。定点数就是小数点在数中的位置是固定不变的，而浮点数则是小数点的位置是浮动的。

通常，对于任意一个二进制数X，都可表示为：

式中：S表示全部有效数字，称之为数X的尾数；P为数X的阶码，它指明了小数点的位置；2是阶码的底。S和P均为用二进制表示的数，它们可正可负。阶码常用补码表示法，尾数常为原码表示的纯小数。当P值可变时，表示是浮点数。

1.定点数

在计算机中，根据小数点固定的位置不同，定点数有定点（纯）整数和定点（纯）小数两种。当阶码P=0，若尾数S为纯整数时，说明小数点固定在数的最低位之后，即称为定点整数。当阶码P=0，若尾数S为纯小数时，说明小数点固定在数的最高位之前，即称为定点小数。定点整数和定点小数在计算机中的表示形式没什么区别，其小数点完全靠事先约定而隐含在不同位置，如图1-17所示。

图1-17　定点整数和定点小数格式

2.浮点数

当要处理的数是既有整数又有小数的混合小数时，采用定点数格式很不方便。为此，人们一般都采用浮点数进行运算。如果阶码P不为0，且可以在一定范围内取值，这样的数称为浮点数。浮点数的格式、字长因机器而异。浮点数一般由4个字段组成，其一般格式如图1-18所示，其中阶码一般用补码定点整数表示，尾数一般用补码或原码定点小数表示。

图1-18　浮点数格式

浮点数的实际格式多种多样。如80486的浮点数格式就不是按上述格式存放4个字段的，而是将数符位Sf置于整个浮点数的最高位（阶码部分的前面），且尾数和阶码部分有其与众不同的约定。

为保证不损失有效数字，一般还对尾数进行规格化处理，即保证尾数的最高位是1，实际大小通过阶码进行调整。

例如，某计算机用32位表示一个浮点数，格式如图1-19所示。图中，阶码部分为8位补码定点整数，尾数部分为24位补码定点小数（规格化）。

图1-19　32位浮点数格式

下面来求十进制数-258.75的机器数。

所以，-258.75在该计算机中的浮点表示为0 0001001 1 01111110101000000000000。

按照这一浮点数格式，可计算出它所能表示的数值范围为：-1×227-1～+（1-2-23）×227-1。显然，它比32位定点数表示的数值范围（最大为-231～231-1）要大得多。一般对于位数相同的计算机，浮点法能表示的范围比定点法大，这也正是浮点数表示优于定点数表示的突出优点之一，但浮点数运算复杂，数据表示不直观。