悬臂梁（材料为铝，密度为2700kg/m3；杨氏模量为70GPa；泊松比为0.33）左端固支，右端受力P=1N，如图2-8所示。求梁右端的挠度、最大弯曲应力、前3阶横向振动模态频率（x-z平面内），并与有限元解对比。
图2-8 右端受载的悬臂梁
图2-8中，三为梁的长度；h和6为梁的横截面尺寸。梁右端的挠度Vmax可由式(2-9)[8]
给出。式中，E为杨氏模量；Iy为y轴惯性矩，且可表达为
由于梁在O点的弯矩最大，最大弯曲应力σ必然出现在O点的上下边缘，即
式中，M为弯矩。
由弹性振动理论，悬臂梁横向振动（图2-8中的x-z平面）前3阶固有频率的理论解为[9]
式中，fn为第n阶固有频率；ρ为材料密度；A=bh为梁的横截面面积；an为系数，且有a1=1.8751，a2=4.6941，a3=7.8548。
令L=100mm，h=2mm，b=4mm，P=1N，并将参数代入式（2-9）～式（2-12）中，即可求出vmax、σ以及前3阶模态频率，列于表2-3中。为方便与有限元解进行比较，表2-3也列出了有限元解。
表2-3 有限元解与理论解的对比
计算及结果说明：
1）对于BEAM188单元，设置单元选项K3=3（Cubic Form），有助于提高计算精度。
2）为便于观察模态变形，将计算单元结果（Calculate elem results）选项开启，设置方法如图2-9所示。
3）约束固支端节点的6个自由度。除x-z平面内的振动外，悬臂梁还产生x-y平面内的振动、绕x轴的扭振以及沿x轴向的振动，本例不做深入研究。
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图2-9 Modal Analysis对话框
4）BEAM188单元可以显示横截面形状（/ESHAPE，1）。因此，可直接在应力云图中观察梁的应力分布状态，而无需进行定义单元表等复杂操作。对于本例，x方向的应力即为梁横截面的弯曲应力，如图2-10所示。应力在横截面内沿高度方向呈线性变化，与理论吻合。
说明：ANSYS计算的应力、应变均以单元坐标系表示，位移、支反力等以节点坐标系（默认平行于总体笛卡儿坐标系）表示。
5）y、z方向应力，xy、yz、xz剪应力均为零，第一主应力（σ1）云图如图2-11所示，第二主应力（σ2）为零，第三主应力（σ3）云图如图2-12所示。von Mises应力（σe）与主应力之间的关系由式（2-13）表达。因此，von Mises应力云图如图2-13所示。对于本例的梁单元，x方向应力、第一主应力和第三主应力绝对值的最大值均完全相同，这是因为梁单元横截面只有一个节点，可精确模拟梁弯曲问题。
图2-10 x方向的应力云图
图2-11 固支端的第一主应力云图
图2-12 固支端的第三主应力云图
图2-13 von Mises应力云图
6）对于仅含有1个梁单元的模型，也可得出准确的结果，但只能计算x-z平面内的1阶模态，这是由系统自由度决定的。图2-14和图2-15分别为5个梁单元、20个梁单元的前3阶模态振型，与理论预测完全一致。
图2-14 5个梁单元的前3阶模态振型
a）1阶模态 b）2阶模态 c）3阶模态
图2-15 20个梁单元的前3阶模态振型
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