2016考研数学（一）名师精选.全真模拟冲刺题10套

一、选择题

答案

（1）如果取L₁为y=f（x）的图形，则f′（x）＞0（x∈（0，x₂）），f′（x）＜0（x∈（x₂，x₄）），f′（x）＞0（x∈（x₄，a）），这与L₂为y=f′（x）图形相符，也与L₃为y=∫^xf（t）dt的图

0形相符.所以选（A）.

附注 本题是先选定L₁为y=f（x）的图形，然后检验L₂，L₃是否分别为y=f′（x），y的曲线.如果如此选定不行，则再考虑L₂为y=f（x）的图形，等等，直到得到正确选项为止.

（2）当收敛时，有

所以选（C）.

附注 当f（x）在（-∞，+∞）上连续，且收敛时有

（3）由于S关于平面x=0对称，x在对称点处的值互为相反数，所以.由于D关于x轴对称，y在对称点处的值互为相反数，所以，因此选（C）.

附注 当曲面S关于某个坐标平面对称时，如果被积函数f（x，y，z）在对称点处的值彼此相等（或互为相反数），则

其中，S₁是S被此坐标平面划分成的两部分之一.

记住这一结论，往往能化简关于面积的曲面积分的计算.

（4）容易看到y₂-y₁=e^-x（cosx+sinx）是y″+py′+qy=0的特解，所以

p=-[（-1+i）+（-1-i）]=2，q=（-1+i）（-1-i）=2.

此外，由题设知e^x是y″+py′+qy=f（x），即y″+2y′+2y=f（x）的特解，所以

f（x）=（e^x）″+2（e^x）′+2e^x=5e^x.

因此选（A）.

附注 容易知道，e^-xcosx是y″+2y′+2y=0的解，所以由题设知e^x是y″+2y′+2y=f（x）的解.

（5）由于A^TAx=0与Ax=0是同解方程组，所以ξ₁，ξ₂必是A^TAx=0的基础解系.由于Ax=0与Bx=0都有基础解系ξ₁，ξ₂，所以ξ₁，ξ₂也是的基础解系，因此选（B）.

附注 ξ₁，ξ₂未必是A+B的基础解系，例如和有相同的基础解系（0，1）^T，但它不是的基础解系，所以（A）与（D）都不能选.

ξ₁，ξ₂也未必是B^∗x=0的基础解系，例如有基础解系（0，0，1）^T，但它不是的基础解系，这是因为的秩为2=3-1，所以的秩为1，从而的基础解系中应有两个线性无关的解向量.因此（C）不能选.

（6）实对称矩阵A，B合同的充分必要条件是分别以A，B为矩阵的二次型有相同的规范形.因此选（D）.

附注 （Ⅰ）选项（A）是A与B合同的必要条件而不是充分条件，而选项（B）、（C）既不是必要条件，也不是充分条件.

（Ⅱ）两个n阶实对称矩阵A，B合同的充分必要条件有两种：

（i）A，B的特征值分别相等（当某个特征值k重时，按k个计算）；

（ii）以A，B为矩阵的二次型有相同的规范形.

（7）F（1，4）=P（X≤1，Y≤4）=P（X≤1，X²≤4）=P（-2≤X≤1）

因此选（C）.

附注 顺便计算X的分布函数G（x）=P（X≤x）.

当x≤-1时，

当-1＜x＜0时，

当0≤x≤2时，

当x＞2时，

所以，

（8）由于随机变量t的概率密度曲线关于纵轴对称，所以由

α=P（|t|≤b）=1-P（|t|＞b）=1-P（t＞b）-P（t＜-b）=1-2P（t＞b）得，从而由t_α（n）的定义得

因此选（C）.

附注 应当记住：

当X～N（0，1）时，满足（其中，u_α为满足P（X＞u_α）=α的实数）；

当X～T（n）时，满足P（|X|≤b）=α的（其中，t_α（n）为满足P（X＞t_α（n））=α的实数）.

二、填空题

（9）所给微分方程可改写成

它的通解为

将y（1）=0代入得C=1，所以.从而由

得曲线y=y（x）的斜渐近线方程为y=-x.

附注 计算曲线y=f（x）的斜渐近线方程时，总是先计算

如果这两个极限中至少有一个不存在，则计算

和

（10）由于

其中，

将它们代入式（1）得

附注 由于f（x，y）仅在点（0，0）处可微，所以需用偏导数的定义与全微分的定义计算本题的极限.

（11）平面z=1被Σ所截下的有限部分上侧记为S，它在xOy平面的投影为D={（x，y）|x²+y²≤1}，则由高斯公式有

附注 由于题中的Σ不是闭曲面，所以添上一块S，构成闭曲面，然后应用高斯公式计算所给的曲面积分.这是计算关于坐标的曲面积分的常用方法.

（12）f（x）的麦克劳林展开式为

附注 （Ⅰ）写出f（x）的泰勒展开式或麦克劳林展开式时，应写出泰勒级数或麦克劳林级数的通项，还应写出展开式的成立范围.

（Ⅱ）初等函数的麦克劳林展开式总是用间接法计算，即利用常用函数e^x，sinx，cosx，ln（1+x）及（1+x）μ的麦克劳林展开式及幂级数的加、减运算和求导、积分运算等计算.

（13）由r（A）+r（B）-3≤r（AB）得r（A）≤2，所以，由此得到λ=3.

附注 应记住关于矩阵秩运算的以下两个公式：

（Ⅰ）设A，B都是m×n矩阵，则

r（A+B）≤r（A）+r（B）.

（Ⅱ）设A，B分别是m×n和n×l矩阵，则

r（A）+r（B）-n≤r（AB）≤min{r（A），r（B）}.

（14）

其中，

所以，

附注 对于比较复杂的随机事件概率，总是利用简单的随机事件概率和概率计算公式计算.概率计算公式主要有

设A，B都是事件，则

P（A）=1-P（A）（逆概公式）；

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）（加法公式）；

特别当A，B互不相容时，P（A∪B）=P（A）+P（B）；（乘法公式）；

设A₁，A₂，…，A_n是一个完全事件组，则当P（A_i）＞0（i=1，2，…，n）时，对任意随机事件B有（全概率公式）.

三、解答题

（15）由知，

|x|＜1时，y′（x）=2x；

1<|x|＜2时，y′（x）=2xcosx²；

|x|＞2时，y′（x）=-sinx.

并且，（x）=2cos1，（x）=4cos4，（x）=-sin2，

所以y′（x）在点x=1，2处不存在，由于f（x）是偶函数，所以y′（x）在点x=-1，-2处也不存在，从而

因此(www.xing528.com)

附注 本题的题解有两点值得注意：

（Ⅰ）要计算分段函数复合函数的导数，应先算出复合函数的表达式.

（Ⅱ）对分段函数如果已算出f′₁（x）（x＜x₀）与f′₂（x）（x＞x₀），则当（x）与都存在时，，

（16）因为f（x）

并且x∈（0，1）∪（4，+∞）时f（x）＜0，x∈（1，4）时f（x）＞0以及f（0）=f（1）=f（4）=0，

所以y=f（x）（x≥0）的图形如图答9-16所示，因此，所求的面积为

图答 9-16

附注 计算平面图形的面积时，应先画出该图形.

当平面图形D是由曲线y=f₁（x），y=f₂（x）（f₁（x），f₂（x）在[a，b]上连续）及直线x=a，x=b围成，则D的面积

本题的平面图形可理解为是由曲线y=f（x），直线y=0，x=0，x=4围成的，所以

（17）由于

所以，f（x）g（y-x）仅在图答9-17阴影部分取非零值，而在xOy平面的其他部分都取零值.因此

图答 9-17

其中，，所以

将它们代入式（1）得

附注 关于弧长的平面曲线积分计算公式是：

设f（x，y）是连续函数，曲线，其中x（t），y（t）在[t₀，t₁]上具有连续的导数，则

（18）（Ⅰ）利用得

（Ⅱ）在[-1，1]上连续，在（0，1）内可导且

显然在（0，1）内f′（x）＞0，且f′（0）=0.下面证明在（-1，0）内f′（x）<0.记，则φ（x）在（-1，0）内可导且

记ψ（x）=x³-x²+x+1，则ψ′（x）=3x²-2x+1＞0（x∈（-1，0）），且ψ（-1）<0，ψ（0）＞0，所以存在x₀∈（-1，0），使得

由此得到

于是，由知φ（x）＜0，即f′（x）＜0（x∈（-1，0））.

由此得到f（x）在＜-1，1）内有唯一驻点x=0，于是f（x）在[-1，1]上的最大值为max{f（0），f（-1），，最小值为min{f（0），f（-1），f（1）}=0.

附注 解本题（Ⅱ）的关键是证明f′（x）<0（x∈（-1，0）），即证明不等式

题解中采用了导数方法.

（19）由于f（ξ）+ξf′（ξ）=0即为[xf（x）]′_x=ξ=0.所以作辅助函数F（x）=xf（x），它在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且由（根据积分中值定理）

知F（1）=F（x₁），所以由罗尔定理知，存在ξ∈（x₁，1）⊂（0，1），使得F′（ξ）=0，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0.

附注 题解中综合使用了罗尔定理与积分中值定理.

（20）

记 P=（α₁，α₂，α₃），则P可逆，且，即

则由知

方程f（λ）=0不可能有三重根，这是因为如果λ=-1是三重根，则λ=-1是λ²-λ-（1+a）=0的二重根；但是当λ=-1是λ²-λ-（1+a）=0的根时a=1，此时λ²-λ-（1+a）=0成为λ²-λ-2=0，这与λ=-1是它的二重根矛盾.

方程f（λ）=0有二重根时，应分两种情形讨论：

（ⅰ）λ=-1是方程的二重根，则由以上计算此时a=1，并且由

知r（-E₃-B）=1=3-2（即矩阵B的阶数与λ=-1的重数之差），所以此时B可相似对角化.由于A～B，所以此时A可相似对角化.

（ⅱ）λ=-1不是方程的二重根时，方程λ²-λ-（1+a）=0必有二重根，从而（-1）2-4[-（1+a）]=0，即，并且此时的二重特征根为由

知，，所以此时B不可相似对角化，从而A不可相似对角化.

综上所述，当时，A不可相似对角化.

附注 设A是n阶矩阵，则A可相似对角化的充分必要条件有下列两种：

（Ⅰ）A有n个线性无关的特征向量；

（Ⅱ）A的每个特征值λ_i（即特征方程|λE_n-A|=0的根），都满足

r（λ_iE_n-A）=n-n_i （n_i是λ_i的重数）.

本题的求解是利用第（Ⅱ）种充分必要条件.

（21）（Ⅰ）由题设知，A有特征值λ₁=2，λ₂=λ₃=-1.从而λ₁对应A^∗的特征值，所以由A^∗α=α知μ₁=1对应的特征向量为α=（1，1，-1）^T，由此可知A的对应λ₁=1的特征向量为α.

设λ₂=λ₃=-1对应的特征向量为β=（b₁，b₂，b₃），则由A是实对称矩阵知β与α正交，即

b₁+b₂-b₃=0.

故可取β为它的基础解系，即

β₁=（-1，1，0）^T， β₂=（1，0，1）^T.现将它们正交化：

γ₁=β₁=（-1，1，0）^T，

显然，α，γ₁，γ₂是正交向量组，现将它们单位化得

于是所求的正交矩阵为Q=（ξ₁，ξ₂，ξ₃），它使

所以

（Ⅱ）由于f（x₁，x₂，x₃）在正交变换x=Qy下的标准形为2y²₁-y²₂-y²₃，

故令，即或，则

2y²₁-y²₂-y²₃=z²₁-z²₂-z²₃（规范形）.

从而f（x₁，x₂，x₃）在可逆线性变换

即

下化为规范形，即

f（x₁，x₂，x₃）=z²₁-z²₂-z²_3.

附注 （Ⅰ）设A是n阶可逆矩阵，有特征值λ及对应的特征向量α，则A的伴随矩阵A^∗有特征值及对应的特征向量α.

（Ⅱ）要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法.

（22）（Ⅰ）由于F_Z（z）=P（Z≤z），其中

所以，

（Ⅱ）Cov（X，X²）=E（X³）-EX·E（X²），

其中，EX=1，E（X²）=D（X）+（EX）2=1+1²=2，

所以，Cov（X，X²）=3E（X²）-E（X²）=2E（X²）=4.

附注 由于Z=XY是连续型随机变量与离散型随机变量之积，所以要计算它的分布函数应从定义出发，即从计算概率

P（Z≤z）=P（XY≤z）

入手.

（23）记X为独立重复射击中，直到命中时的射击次数，则k₁，k₂，…，k_n为来自总体X的简单随机样本值.由于

P（X=k）=（1-p）^k-1p（k=1，2，…），

所以，

令，即，于是由矩估计法得p的矩估计值p

最大似然函数为

取对数.令

解此方程得于是由最大似然估计法知p的最大似然估计值

附注 应熟练掌握总体未知参数的两种点估法方法：矩估计法与最大似然估计法.