2016考研数学（一）名师解析全真模拟试题分析

一、选择题

答案

（1）由于，所以

所以选（B）.

附注 要记住公式：

（2）由于利用对称区间上定积分的性质可得

所以 P＜M＜N.因此选（C）.

附注 应记住对称区间上定积分的性质：设f（x）在[-a，a]（a＞0）上连续，则

此外，当f（x）是非奇非偶函数时有

（3）令x=e^t，则x²y″+xy′+y=2sinlnx成为

所以，原方程有形如y=t（acost+bsint）=（acoslnx+bsinlnx）lnx的特解.因此选（B）.

附注 所给微分方程是2阶欧拉方程，令x=e^t可以转换成2阶常系数线性微分方程，由此即可确定应具有的特解形式.

（4）当的收敛半径为1时，它在x=-1处可能条件收敛也可能不是条件收敛如或，但当在点x=-1处条件收敛时，它的收敛半径必为1.于是收敛半径为1是在点x=-1处条件收敛的必要而非充分条件.因此选（B）.

附注 对于幂级数，当其收敛半径为R（正数）时，内绝对收敛，但在端点x=-R，R处可能收敛（条件收敛或绝对收敛），也可能发散，应视{a_n}而定.

（5）由于B=P^-1AP，所以当A有特征值λ及对应的特征向量为α时，B有特征值λ及对应的特征向量P^-1α.因此由A可逆知B可逆，所以B^∗有特征值及对应的特征向量P^-1α.因此选（C）.

附注 应记住以下结论：

设A是n阶矩阵，有特征值λ及对应的特征向量α，则B=P^-1AP（P是n阶可逆矩阵）有特征值λ和对应的特征向量P^-1α；当A可逆时，A的伴随矩阵A^∗有特征值及对应的特征向量α.

（6）由于当（Ⅰ）与（Ⅱ）等价时，（Ⅰ）与（Ⅱ）等秩；当A与B等价时，A与B等秩，反之也对，所以选项（A）、（C）、（D）都正确，因此选（B）.

附注 当（Ⅰ）与（Ⅱ）等秩时，（Ⅰ）与（Ⅱ）未必等价.例如，α₁=（1，0，0）^T，α₂=（0，1，0）^T，β₁=（1，0，0）^T，β₂=（0，0，1）^T.显然r（α₁，α₂）=r（β₁，β₂），但是α₂不能由β₁，β₂线性表示，即α₁，α₂与β₁，β₂不等价.

由本题可知：题中的（Ⅰ）、（Ⅱ）等价与A、B等价是有区别的，应注意这一点.

（7）记C_i={第i次取球取到的是白球}（i=1，2），则

所以

因此选（B）.

附注 本题有两点值得注意：

（Ⅰ）{第二次取球才取到白球}与{第二次取球取到的是白球}这两个随机事件是有区别的.

（Ⅱ）随机事件{第i次取球取到白球}（i=1，2，3）的概率是相等的，都为

（8）由于，所以

且，，

所以，四个统计量中方差最小者为S²_XY，因此选（D）.

附注 记住以下结论：

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X～N（μ，σ²）的随机样本，记，则，D

二、填空题

（9）由得

5f（x）-2=f′（x）-5e^5x 以及f（0）=1，f′（0）=8，

所以有

令x→0，由上式得

f″（0）=5f′（0）+5×5=65.

附注 本题也可以解答如下：由于对所给等式两边关于x求导得

5f（x）-2=f′（x）-5e^5x，

上式对x求导得

5f′（x）=f″（x）-25e^5x，即f″（x）=5f′（x）+25e^5x.

于是利用f（0）=1，f′（0）=8得

f″（0）=5×8+25×1=65.

（10）显然x=0，y=0时，所给方程成为∫₀^ze^t2dt=0，从而z（0，0）=0.此外，所给方程两边对x求偏导数得，即

从而

附注也可以由对y求偏导数算出，然后将x=y=z=0代入计算得到.但题解中由按定义计算更加快捷些.

（11）设切点为M（x₀，y₀，z₀），则S在点M处的法向量为（2x₀-1，2y₀，2z₀），于是由切平面与π₁与π₂都垂直知

所以即

由M∈S知，x²₀+y²₀+z²₀=x₀，即，解此方程得

所以切点为和，因此所求的切平面方程为，即

和，即

附注 计算曲面S的切平面时，如果未知切点坐标，总是根据有关条件先计算切点坐标，然后写出切平面方程.

（12）

附注 题解中有两点值得注意：

（Ⅰ）当曲线C是正向平面闭曲线时，曲线积分通常用格林公式计算比较快捷.

（Ⅱ）对于二重积分，应先利用积分区域的对称性化简以后再行计算，具体说，设D满足某种对称性，则二重积分其中，D₁是D按对称性划分成的两部分之一.

（13）显然|A|=2，此外

所以

附注 计算矩阵的行列式时，以下结论是常用的：

设A，B都是n阶矩阵，则

|AB|=|A||B|，|kA|=kⁿ|A|（k是常数），|A^∗|=|A|^n-1（n＞1，A^∗是A的伴随矩阵）.

当A可逆时，

（14）由于，所以

附注 由于F（x）只有间断点x=0，1，2，所以X的分布列为

即

三、解答题

（15）D如图答8-15的阴影部分所示，所以

其中

图答 8-15

所以

附注 应记住以下公式

设f₁（x），f₂（x）都是连续函数，且0≤f₁（x）≤f₂（x）（0≤a≤x≤b）.

记D={（x，y）|0≤a≤x≤b，f₁（x）≤y≤f₂（x）}，则D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积

D绕y轴旋转一周而成的旋转体体积

（16）n=2时，由于

所以，此时f（x，y）在点（0，0）处不连续.(www.xing528.com)

n≥3时，由于当（x，y）→（0，0）时由

知，，所以此时f（x，y）在点（0，0）处连续，因此使f（x，y）在点（0，0）处连续的最小n值为3.

所以，此时f（x，y）在点（0，0）处不可微.，同样有f′_y（0，0）=0.于是当（x，y）→（0，0）时由

知，

所以，此时f（x，y）在点（0，0）处可微.因此使f（x，y）在点（0，0）处可微的最小n值为4.

附注 本题的f（x，y）在点（0，0）处连续或可微都是由定义证明的.

设二元函数g（x，y）在点（x₀，y₀）处的某个邻域内有定义，如果

则f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微.

（17）由题设知{x_n}是正项数列，且对n=1，2，…有

c都为非负数时，

所以{x_n}有下界.此时，由x_n≥1（n=2，3，…）知

即{x_n}单调不增.因此由数列极限存在准则Ⅱ知存在，记为A.对所给递推式两边令n→∞取极限得，即A=1.

由此得到

考虑极限（即将欲求的极限式中的x_n改为x，则当n→∞时，x→1）：

所以，

附注 数列极限有两个存在准则：

准则Ⅰ：设数列{x_n}，{y_n}及{z_n}满足

y_n≤x_n≤z_n（n=1，2，…），

且，则

准则Ⅱ：设数列{x_n}是由递推式x₁，x_n+1=f（x_n）（n=1，2，…）确定.

如果{x_n}单调不减有上界或单调不增有下界，则存在.

当数列{x_n}由递推式确定时，通常总是利用数列极限存在准则Ⅱ，先确定存在，然后对所给递推式两边令n→∞取极限算出极限值.

（18）记，则

且当x=-1，1时，所给幂级数都成为收敛级数

所以所给级数的收敛域为[-1，1].

对x∈[-1，0）∪（0，1]有

且当x=0时，，所以所给幂级数的和函数为

附注 本题解答有两点值得注意：

（Ⅰ）所给幂级数是缺项幂级数，所以应将幂级数记为，然后用比值法确定这个幂级数的收敛域.

（Ⅱ）x∈[-1，0）∪（0，1]时的和函数s（x）也可计算如下：

由于，所以

（19）记S（不妨设其为外侧）围成的空间区域为Ω，则由高斯公式得

由于S是半空间x＞0内任意有向闭曲面，所以由上式得

即

它的通解为

上式两边令x→0⁺取极限，且与题设比较得

所以C=-1，将它代入式（1）得f

附注 闭曲面上的关于坐标的曲面积分通常用高斯公式计算比较快捷.高斯公式为：

设Σ是光滑或分块光滑有向闭曲面（外侧），它围成的空间闭区域为Ω，P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）都在Ω上具有连续偏导数，则

（20）由题设知（1，2，2，1）^T-（1，-2，4，0）^T=（0，4，-2，1）^T是方程组Ax=0的解，所以有

4α₂-2α₃+α₄=0，即α₄=-4α₂+2α_3.

于是由A=（α₁，α₂，α₃，α₄）的秩为3知，α₁，α₂，α₃线性无关.

此外，由题设（1，-2，4，0）^T是方程组Ax=β的解得

β=α₁-2α₂+4α₃，

于是方程组By=α₁+2α₂，即为

（α₃，α₂，α₁，α₁+2α₂+2α₃）y=α₁+2α₂. （1）

由于式（1）的系数矩阵的秩为3，且对应的齐次方程组有基础解系（2，2，1，-1）^T.此外，式（1）有特解（0，2，1，0）^T.所以方程组By=α₁+2α₂的通解为

y=C（2，2，1，-1）^T+（0，2，1，0）^T（其中，C是任意常数）.

附注 要记住齐次线性方程组Ax=0（其中，A是m×n矩阵，x是n维未知列向量）的基础解系中所包含的线性无关解向量个数为n-r（A）.

（21）（Ⅰ）由于

所以f（x₁，x₂，x₂）的矩阵

由于B有特征值为λ=0，1，4，所以有，即a=3，b=1.

（Ⅱ）由以上计算知

设B对应λ=0的特征向量为α=（a₁，a₂，a₃），则α满足

由于

所以式（1）与方程组同解，可取它的基础解系为α，即α=（1，0，-1）^T.

设B对应λ=1的特征向量为β=（b₁，b₂，b₃）^T，则β满足

由于

所以式（2）与方程组同解，可取它的基础解系为β，即β=（-1，1，-1）^T.

设B对应λ=4的特征向量为γ=（c₁，c₂，c₃）^T，则由B是实对称矩阵知γ与α，β都正交，于是有

可取它的基础解系为γ，即γ=（1，2，1）^T.显然α，β，γ两两正交，现将它们单位化：

记Q=（ξ₁，ξ₂，ξ₃）（正交矩阵），则x=Qy，即

使得 f（x₁，x₂，x₃）=y²₂+4y²₃（标准形）.

附注 题中的A不是实对称矩阵，所以要用正交变换将f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx化为标准形，必须首先将f（x₁，x₂，x₃）改写成x^TBx（其中，B是实对称矩阵）.此外，要熟练掌握，用正交变换把二次型化成标准形的方法.

（22）（Ⅰ）由于当y＞0时，

所以，，其中，

附注 对于二维连续型随机变量（X，Y），必须掌握其两种条件概率P（X≥a|Y≥b）和P（X≥a|Y=b）的计算方法.

（23）（Ⅰ）由于EX=0·θ²+1·2θ（1-θ）+2·θ²+3·（1-2θ）=3-4θ.

样本值的平均值

所以由矩估计法，令EX=x¯，即3-4θ=2得θ的矩估计值

（Ⅱ）由题设知，所以对于任意实数y，由中心极限定理（具体是棣莫弗-拉普拉斯定理）得

因此，所求的参数为

附注 计算关于随机变量X～N（_μ，σ²）的概率问题时，总是引入标准化随机变量X，则X⁰～N（0，1）（标准正态分布），于是X的分布函数（其中，Φ（u）是标准正态分布函数），即

由此可知，当时，X～N（a，b²）.本题中的参数就是如此得到的.