2016考研数学（一）名师精选，模拟试题详解

一、选择题

答案

（1）显然x=0，1都是方程的实根.记f（x）=2^x-x²-1，则f（x）连续，且

所以由零点定理推广形式知所给方程f（x）=0在（2，+∞）上有实根，记为x_0.

如果方程f（x）=0还有不同实根x₁，不妨x₁＞x₀，则由f（x）可导，且f（0）=f（1）=f（x₀）=f（x₁）及罗尔定理（高阶导数形式）知，存在ξ∈（0，x₁），使得f‴（ξ）=0.（1）

另一方面，计算f（x）的3阶导数得f‴（ξ）=2^ξ（ln2）3≠0.（2）

式（1）与式（2）矛盾知，方程2^x-x²-1=0除实根0，1，x₀外别无其他实根，因此选（C）.

附注 （Ⅰ）零点定理的一种推广形式

设函数f（x）在[a，+∞）上连续，且，则存在ξ∈（a，+∞），使得f（ξ）=0.

（Ⅱ）罗尔定理的高阶导数形式

设函数f（x）在（a，b）内2阶可导，且有x₁，x₂，x₃∈（a，b）（其中，x₁＜x₂＜x₃），使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=0.

设函数f（x）在（a，b）内3阶可导，且有x₁，x₂，x₃，x₄∈（a，b）（其中，x₁＜x₂＜x₃＜x₄），使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则存在ξ∈（a，b），使得f‴（ξ）=0.

（2）由于所以

因此选（A）.

附注 同样可以计算∫-^x∞min{e^-t，e^t}dt，具体如下：

由于所以

（3）由{a_n}是单调减少收敛于零的正项数列知收敛.所以对它两项两项地加括号所得级数

收敛.因此选（D）.

附注 本题获解的关键是，由莱布尼茨定理确定收敛.此外，应记住以下的收敛级数性质：

设收敛，则对它任意加括号所得级数仍收敛，但反之未必正确，即级数任意加括号后所得的级数收敛时，原级数未必收敛.

（4）由于

所以选（C）.

附注 题中计算时，需用平面x=0将Σ划分成两部分：（前侧）与（后侧），它们在yOz平面的投影都为Dyz.

（5）由α，β，γ线性无关知α，β线性无关，从而由α，β，δ线性相关知δ可由α，β线表示，即δ可由α，β，γ线性表示.因此选（B）.

附注 关于向量组的线性相关性的以下结论应记住：

（Ⅰ）设向量组（A）：α₁，α₂，…，α_m.

如果（A）线性无关，则它的任一部分组也线性无关；

如果（A）的某一部分组线性相关，则（A）线性相关.

（Ⅱ）设向量组（A）：α₁，α₂，…，α_m，β.

如果（A）线性相关，则至少存在一个向量可用其余向量线性表示；

如果（A）线性相关，但α₁，α₂，…，α_m线性无关，则β可由α₁，α₂，…，α_n线性表示，且表示式是唯一的.

（6）②④都是A可相似对角化的充分必要条件，因此选（C）.

附注 应记住以下的结论：

设A是n阶矩阵，则“A有n个线性无关的特征向量”，或“A的每个n_i重特征值λ_i的特征矩阵λ_iE_n-A都满足r（λ_iE-A）=n-n_i”，都是A可相似对角化的充分必要条件.而A有n个不同的特征值，或A是实对称矩阵，则是A可相似对角化的充分而非必要条件.

（7）对于选项（C），（X，Y）的概率密度，它的关于X与Y的边缘概率密度分别为

显然f_X（x）f_Y（y）=f（x，y）不是几乎处处成立的，所以X与Y不相互独立.因此选（C）.

附注 应记住选项（A），（B），（D）的结论.

（8）由于，且相互独立，所以由χ²分布的可加性得

于是

因此选（D）.

附注 要记住以下的关于χ²分布的结论：

（Ⅰ）设X～χ²（n），则EX=n，DX=2n；

（Ⅱ）设X～χ²（n₁），Y～χ²（n₂）且它们相互独立，则X+Y～χ²（n₁+n₂）.

二、填空题

（9）由，从而

附注 类似地可考虑：

设，求具体计算如下：

由得由此可得，即以及，即

所以，

（10）由得（利用g（0）=g′（0）=1）

=f′_x（y，y）+f′_y（y，y）y=1+y（利用f′_x（y，y）=f′_y（y，y）=1），

所以，

附注 由于，所以可先算出，记为φ（y），然后计算即得，这样计算比先算出，然后将x=0，y=1代入计算快捷.

（11）由于曲面z=x²+y²与x²+y²+z²=2（z≥0）的交线为即，所以Σ在xOy平面的投影为D={（x，y）|x²+y²≤1}，从而Σ的面积

附注 顺便计算上半球面x²+y²+z²=2（z≥0）位于曲面z=x²+y²之内部分Σ₁的面积S₁：

（12）将f（x）偶延拓为周期是2的周期函数f₁（x），其中在[-1，1]上

所以，

将f（x）奇延拓为周期为2的周期函数f₂（x），其中在（-1，1]上

所以

附注 应记住：要计算f（x）（0≤x≤l）的余弦级数（正弦级数）时，应将f（x）作偶延拓（奇延拓）.此外应掌握用狄利克雷收敛定理计算傅里叶级数的和函数的方法.

（13）由于其中，A是2阶矩阵，所以当r（A）=1时，r（A^∗）=1；B是4阶矩阵，所以当r（B）=2时，r（B^∗）=0.

从而

附注 应记住以下公式：

设A是n阶矩阵，A∗是A的伴随矩阵，则

（14）

附注 应记住以下公式：

设随机变量X，Y相互独立，它们的分布函数分别为F_X（x）与F_Y（y），则Z₁=max{X，Y}的分布函数F_Z1（z）=F_X（z）F_Y（z）；

Z₂=min{X，Y}的分布函数F_Z2（z）=1-[1-F_X（z）][1-F_Y（z）].

三、解答题

（15）y（0）=1，此外，

由

所以，从而将y（0）=1代入得C=1.因此y.从而

附注 对求导时，必须首先将被积函数中的x提到积分号之外，故将它改写成

（16）由于f′_x=2（x+1），f′_y=2（y+1），f′_z=-2z，所以由方程组

在Ω内部无解知，f（x，y，z）在Ω内部无可能极值点.

下面计算f（x，y，z）在Ω的表面上的最值.(www.xing528.com)

记F（x，y，z）=2x+2y+x²+y²-z²+λ（x²+y²+z²-1），则

F′_x=2（1+x+λx），F′_y=2（1+y+λy），F′_z=2（-1+λ）z.

于是方程组

由式（1）与式（2）知x=y，由式（3）知z=0或λ=1.

将x=y，z=0代入式（4）得这时可能极值点为

将x=y，λ=1代入式（1）、式（2）得x，将它们代入式（4）得.这时可能极值点为

由于所以f（x，y，z）在Ω上的最大值为，最小值为-2.

附注 计算三元函数f（x，y，z）在有界闭区域Ω上的最值，通常可按以下步骤进行：

（Ⅰ）计算f（x，y，z）在Ω内部的所有可能极值点，记为M₁，M₂，…，M_n.

（Ⅱ）计算f（x，y，z）在Ω的边界上的最值（通常使用拉格朗日乘数法），记最大值为M，最小值为m.

（Ⅲ）比较f（M₁），f（M₂），…，f（M_n），M，m的大小，则最大者与最小者，分别为f（x，y，z）在Ω上的最大值与最小值.

（17）记f（x）=2sinx+tanx-3x，则

即 f（x）在内单调增加.所以，对，有

附注 要证明函数不等式f（x）＞g（x）（x∈（a，b））（其中，f（x）与g（x）在（a，b）内可导），总是按以下步骤进行：

（Ⅰ）作辅助函数φ（x）=f（x）-g（x）；

（Ⅱ）计算φ′（x）.

如果 φ′（x）＞0（x∈（a，b）），且，则有

φ（x）＞0，即f（x）＞g（x）（x∈（a，b））.

如果φ′（x）＜0（x∈（a，b）），且，则有

φ（x）＞0，即f（x）＞g（x）（x∈（a，b））.

如果且φ（x₀）=C＞0，则有

φ（x）＞0，即f（x）＞g（x）（x∈（a，b））.

（18）

由于当x＜1时有

所以，

附注 利用幂级数计算级数和的步骤如下

（Ⅰ）构造幂级数，

（Ⅱ）计算上述幂级数的收敛域I与和函数s（x），

（Ⅲ）如果x₀∈I，则，

本题就是如此计算的.

图答 7-19

（19）C如图答7-19所示的，其中，A=（-aπ，0），B=（aπ，0）.

作正向闭曲线，其中，是位于x轴上的线段，是上半圆x²+y²=ε²（y≥0），ε是充分小的正数，使得位于下方.记上述闭曲线围成的区域为D，则由格林公式得

附注 由于C不是闭曲线，不能直接应用格林公式计算所给的曲线积分，所以要添上一段曲线C₁，使之成为正向闭曲线Γ，这里对C₁有以下要求：

（Ⅰ）要求，在Γ围成的闭区域上具有连续的偏导数；

（Ⅱ）要求在C₁上的曲线积分比较容易计算.题中所取的C₁（即）就是按此要求确定的.

（20）（Ⅰ）方程组（A）的增广矩阵

所以，线性方程（A）有无穷多解时，有a+1=0，即a=-1.

（Ⅱ）当a=-1时，方程组（A）与（B）组成的方程组为

对（C）的增广矩阵施行初等行变换：

由此可知，有公共解时，即公共解为，x₂=3，

附注 设方程组A₁x=b₁，A₂x=b₂（其中A₁，A₂分别是m₁×n与m₂×n矩阵，b₁，b₂分别是m₁维与m₂维列向量，则这两个方程组有公共解的充分必要条件为方程组`

有解.

（21）（Ⅰ）由得

所以，矩阵A有特征值λ=-1，1.由r（A）=2知A还有特征值λ=0.显然对应λ=-1，1分别有特征向量α₁=（1，0，-1）^T和α₂=（1，0，1）^T.设对应λ=0的特征向量为α₃=（x₁，x₂，x₃）^T，则由A是实对称矩阵知α₃与α₁，α₂都正交，故有

所以可取它的基础解系为α₃，即α₃=（0，1，0）^T.显然α₁，α₂，α₃是正交向量组，现将它们单位化得

记Q=（ξ₁，ξ₂，ξ₃）（正交矩阵），则.于是

从而按伴随矩阵的定义得A

（Ⅱ）显然|Q|=-1，所以Q^∗=|Q|Q^-1=-Q^T，因此

Q^TA^∗Q=-Q^∗A^∗（-Q^T）^∗=（Q^TAQ）^∗.于是

由此可知，取C=Q，则在正交变换x=Cy=Qy下，二次型f（x₁，x₂，x₃）化为标准形y²₁+y²₂-y²_3.

附注 我们知道，使x^TAx化为标准形的正交变换也使x^TA^∗x化为标准形，即x^TA^∗x=μ₁y²₁+μ₂y²₂+μ₃y²₃，其中μ₁，μ₂，μ₃是A^∗的特征值.当|A|≠0时，μ₁，μ₂，μ₃可由A的特征值λ₁，λ₂，λ₃直接得到，即，，.但是现在|A|=0，故为了算出μ₁，μ₂，μ₃，或为了将x^T（A^∗+A）x化为标准形，采用了题解中的方法.

（22）（Ⅰ）由于（U，V）关于U的边缘概率密度为

所以，

其中，

图答 7-22

因此，由式（1）得

于是P（X=-1，Y=1）=P（X=1，Y=-1）=P（X=0，Y=1）=0.25.

记（X，Y）的概率分布为

则即

所以P₁=0，P₂=0.05，P₃=0.2.因此（X，Y）的概率分布为

（Ⅱ）Cov（X，Y）=E（XY）-EX·EY，

其中E（XY）=（-1）×（-1）×0+（-1）×1×0.25+0×（-1）×0.05+0×1×0.25+

1×（-1）×0.25+1×1×0.2=-0.3，

所以，Cov（X，Y）=-0.3-0.2×0.4=-0.38.

附注 本题是连续型随机变量与离散型随机变量结合的综合题，需计算许多元素，因此对题目审视后应确定计算各个元素的先后顺序：

先计算，为此需先算出关于U的边缘概率密度f_U（u）；

然后确定（X，Y）的概率分布表，将已知的概率填入，对于未知的概率用P₁，P₂，P₃等表示，并利用已知条件逐一确定这些未知的概率.

最后根据（X，Y）的概率分布算出Cov（X，Y）.

（23）（Ⅰ）由于关于X的边缘概率密度为

其中，，所以

由于E，所以由矩估计法，令，即由此得到θ的矩估计量为

由于，所以是无偏估计量.

其中，.所以

附注 要熟练掌握总体未知参数的两种点估计方法：矩估计法与最大似然估计法.