2016考研数学（一）名师精选，全真模拟冲刺题解答

一、选择题

答案

（1）由于

所以，，的图形如图答5-1所示，由图可知，f（x）的极大值为，极小值为因此选（A）.

附注 画图得到正确选项，是解选择题常用的方法之一.

（2）选项（A）与（B）必有一个是不正确的.现按题设可得y=f（x）在点x₀的邻域内的图形，如图答5-2所示，由图可知，f（x）在点x₀不可导，因此选（B）.

图答 5-1

图答 5-2

这与f（x）在点x₀左侧邻近单调增加（即f（x）＜f（x₀））矛盾.由此证得f（x）在点x₀处不可导.

显然证明是不易的，但在求解选择题时，是不必寻求这样复杂的证明，有时画出简图即可得到符合题意的选项.

（3）对于选项（D），由得所以有同样可得f′_y（0，0）=0.于是由得

所以由二元函数可微的定义知，f（x，y）在点（0，0）处可微，因此选（D）.

附注 显然，选项（A），（B）不是f（x，y）在点（0，0）处可微的充分条件.选项（C）也不是充分条件.例如，由，特别f′_x（0，0）=0知，，同样有.但是由

知，f（x，y）在点（0，0）处不可微.

（4）显然选项（A），（B）的微分方程不可能有特解y₁，y₂和y3.

由于，，所以

由于，，所以

由于y₃=3y₁-y₂，所以它必满足.因此选（C）

附注 （C）是正确的选项，也可如下证明：

令x=e^t，则y₁=te^t，y₂=te^t+e^t，y₃=2te^t-e^t，选项（C）中的微分方程（欧拉方程）成为

由于（1）的特征方程λ²-2λ+1=0有根λ=1（二重），所以选项（C）的方程有特解y₁，y₂，y_3.

（5）由于选项（C）与（D）有且仅有一个是正确的，因此只要考虑这两个选项即可.由r（B）=r（A）≤n＜n+1知，By=0有非零解.因此选（C）.

附注 设A是m×n矩阵，则

r（A）=n是齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件；

r（A）＜n是齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件.

（6）A有特征值-1，1，2.由知，选项（A）的矩阵有特征值λ=3，-1（二重），它与A有不同的特征值，故不与A相似，从而不能选（A）.

对于选项（B）的矩阵，由

3）知，它有特征值-1，1，2，即与A有相同的特征值，所以这个实对称矩阵与A相似且合同.因此选（B）.

附注 （Ⅰ）设A与B都是n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件有以下两类：

（i）存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B；

（ii）A与B有相同的特征多项式，或者A与B有相同的特征值（n_i重以n_i个计算）.

（Ⅱ）设A与B都是n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件有以下三类：

（i）存在n阶可逆矩阵C，使得C^TAC=B；

（ii）二次型x^TAx与x^TBx（其中x=（x₁，x₂，…，x_n）^T）有相同的规范形，或者二次型x^TAx与x^TBx有相同的正惯性指数，也有相同的负惯性指数；

（iii）A与B有相同的特征值（n_i重的以n_i个计算）.

（7）记Y的分布函数为F_Y（y），则

所以，Y的分布函数F_Y（y）只有一个间断点.因此选（B）.

附注 由于，所以

（8）记U=X₁+X₂+X₅+X₆，V=X₃+X₄-X₇-X₈，则U～N（0，4σ²），V～N（0，4σ²），所以，相互独立，且都服从N（0，1），由此得到因此选（C）.

附注 F（n₁，n₂）分布定义如下：

设X～χ²（n₁），Y～χ²（n₂），且X与Y相互独立，则.

二、填空题

（9）所给方程两边对x求导得

即，且

于是，

附注也可以由计算出，然后将x=0，y=1，代入得到，但这样计算比较繁复，没有题解中采用的方法简捷.

（10）

附注 由于e^cosxsinx是奇函数，所以题解中

（11）由于，所以

附注 要熟练掌握二元复合函数的1、2阶偏导数的计算.

（12）所给微分方程

y″+2y′+y=2e^-x+x （1）

对应的齐次微分方程y″+2y′+y=0的通解为

Y=（C₁+C₂x）e^-x.

此外，式（1）有特解

y∗=Ax²e^-x+B+Cx.

将它代入式（1）得

（2Ae^-x-4Axe^-x+A²x²e^-x）+2（2Axe^-x-Ax²e^-x+C）+（Ax²e^-x+B+Cx）=2e^-x+x.由此得到A=1，B=-2，C=1，所以

y^∗=x²e^-x-2_+x.

因此式（1）的通解为

y=Y+y^∗=（C₁+C₂x）e^-x+x²e^-x-2+x.

附注 由于式（1）的右边为2e^-x与x两项之和，其中是齐次方程y″+2y′+y=0的特征方程λ²+2λ+1=0的二重根，所以y″+2y′+y=2e^-x有形如Ax²e^-x的特解.此外，y″+2y′+y=x有形如B+Cx的特解.从而式（1）有形如y∗=Ax²e^-x+B+Cx的特解.

（13）由于r（A）=r（AB）≤r（B），即r（A）≤r（B）. （1）

此外，由r（A）=n及r（A）+r（B）-n≤r（AB）≤r（A）得r（B）≤r（A）. （2）

所以由式（1）、式（2）得r（B）=r（A）=n.从而r（B^∗）=n.

附注 题解中利用了关于矩阵秩的以下结论：

（Ⅰ）设A是m×n矩阵，B是n×l矩阵，则

r（A）+r（B）-n≤r（AB）≤min{r（A），r（B）}.

（Ⅱ）设A是n阶矩阵，则

（14）由题设知，X，Y相互独立，从而X与Y²相互独立，且X的概率密度为y的概率密度为所以D（X+Y²）=DX+D（Y²），其中，并且

因此，

附注 记住：服从参数为λ（λ＞0）的指数分布的随机变量X的概率密度

三、解答题

（15）由于将y（0）=0代入上式得C=-1.所以y（t）=-e^-2t+e^-t（t≥0）.

当t＜0时，f′（t）=（2t²+sint）′=4t+cost，

当t＞0时，f′（t）=y′（t）=（-e^-2t+e^-t）′=2e^-2t_-e-t.

由于，，所以f′（0）=1.因此

由此可得，t＜0时，f″（t）=4-sint；t＞0时，f″（t）=-4e^-2t+e^-t.，所以f″（0）不存在，因此

附注 f′（0）=1与f″（0）不存在也可证明如下：(www.xing528.com)

由于所以

从而f′（0）=1.

由于，所以

从而f″（0）不存在.

（16）令u=x-t，则成为，即

上式两边对x求导得，即令，得，所以

将，即代入上式得C=2，所以，在.因此f（x）在上的平均值为

附注 y′+p（x）y=q（x）yⁿ（n≠0，1）称为伯努利方程，它可通过变量代换z=y^1-n转换成线性方程后求解.

（17）u（x，2x）=x两边对x求导得u′_x（x，2x）+2u′_y（x，2x）=1.

再对x求导得[u_x″_x（x，2x）+2u″_xy（x，2x）]+2[u″_yx（x，2x）+2u″_yy（x，2x）]=0，

利用u″_xx=u″_yy，u″_xy=u″_yx化简后得

5u″_xx（x，2x）+4u″_xy（x，2x）=0. （1）

u′_x（x，2x）=x²两边对x求导得

u″_xx（x，2x）+2u″_xy（x，2x）=2x. （2）

由式（1），式（2）得u，.于是D如图答5-17阴影部分所示，所以D的面积为

附注 本题获解的关键是利用题设从u（x，2x）=x，u′_x（x，2x）=x²中算出u″_xx（x，2x）与u″_xy（x，2x）的表达式，这一点可以如题解中那样，将以上两式对x求导即可.

图答 5-17

（18）所给不等式可改写成

（f′（x）-3f（x））′-2（f′（x）-3f（x））＞0. （1）

式（1）两边同乘以e^-2x得

e^-2x（f′（x）-3f（x））′-e^-2x·2（f′（x）-3f（x））＞0，

即[e^-2x（f′（x）-3f（x））]′＞0.

所以，对x＞0有

e^-2x（f′（x）-3f（x））>[e^-2x（f′（x）-3f（x））]｜_x=0=-3，

即e^-2x（f′（x）-3f（x））+3＞0. （2）

式（2）两边同乘以e^-x得

[e^-3xf′（x）-3e^-3xf（x）]+3e^-x＞0，

即（e^-3xf（x）-3e^-x）′＞0.

所以，对x＞0有

e^-3xf（x）-3e^-x＞（e^-3xf（x）-3e^-x）x=0=-2，

即f（x）＞3e^2x-2e^3x（x＞0）.

附注 题解中，值得注意的是：式（1）两边同乘以e^-2x，使其左边成为一个函数的导数；同样，在式（2）两边同乘以e^-x，使其左边也成为一个函数的导数.

（19）

其中是Σ在xOy平面上的投影，且

所以

附注 设曲面Σ：z=z（x，y），且f（x，y，z）是连续函数，则

其中，D_xy是Σ在xOy平面上的投影.

（20）由于

所以，所给的方程组成为

（8A-16E₃）x=γ，即

或

由于

所以，式（1）与方程组同解.式（2）的导出组的通解为C（1，2，1）T，此外式（2）有特解，所以，式（2），即所给方程组的通解（其中，C是任意常数）.

附注 设α，β都是n维列向量，则α^Tβ是一个常数，记为c；αβ^T是n阶矩阵，记为A，则r（A）≤1，且对正整数k，有

（21）由于

=（λ-2）（λ-5）（λ+4），

所以A有特征值λ=2，5，-4.

设对应λ=2的特征向量为a=（a₁，a₂，a₃）^T，则a满足

由于

所以，式（1）与方程组，同解，故可取a为它的基础解系，即a=（1，2，1）^T.设对应λ=5的特征向量为b=（b₁，b₂，b₃）^T，则b满足

由于

所以式（2）与方程组同解，故可取b为它的基础解系，即b=（1，-1，1）^T.

设对应λ=-4的特征向量为c=（c₁，c₂，c₃）^T，则由A是实对称矩阵知，c与a，b都正交，所以有即，由于它与

同解，故可取c为它的基础解系，即c=（1，0，-1）^T.

显然a，b，c是正交向量组，现将它们单位化：

记（正交矩阵），则，于是在

正交变换x=Qy下，f（x₁，x₂，x₃）=2y²₁+5y²₂-4y²₃（标准形）.

由Q^TA^∗Q=Q^TAA^-1Q=-40Q^-1A^-1Q（A=2×5×（-4）=-40）

=-40（Q^-1AQ）^-1=-40（Q^TAQ）-1知，在正交变换x=Qy下，

f₂（x₁，x₂，x₃）=x^TA^∗x=y^T（Q^TA^∗Q）y（标准形）.

附注 由题解可知，如果A是n阶可逆实对称矩阵，则当正交变换x=Qy将二次型f₁（x₁，x₂，…，x_n）=x^TAx（其中x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，y=（y₁，y₂，…，y_n）^T）化为标准形λ₁y²₁+λ₂y²₂+…+λ_ny²_n（其λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值）时，必将二次型f₂（x₁，x₂，…，x_n）=x^TA^∗x化为标准形μ₁y²₁+μ₂y²₂+…+μ_ny²_n（其中μ₁，μ₂，…，μ_n是A^∗的特征值）.记住这个结论，是有用的.

（22）（Ⅰ）记Y的分布函数为F_Y（y），则

F_Y（y）=P（Y≤y）=P（X²≤y）.

当y≤0时，P（X²≤y）=0；

当0＜y≤1时，

当1＜y≤4时，

当y＞4时，

所以，由此得到

（Ⅱ）

附注 φ（y）也可以按以下方法计算：

由于y=x²在f（x）≠0的区间[-2，0）与（0，1]上都是单调的，且y=x²在（-2，0）内的反函数，在（0，1）内的反函数，所以

（23）设所给的随机简单样本的观察值为x₁，x₂，…，x_n.为了计算θ的最大似然估计量，可认为x₁，x₂，…，x_n全为正的.故似然函数为

即于是由

得θ的最大似然估计值为，从而θ的最大似然估计量为由于EX=θ，DX=θ²，所以由

由此可知

附注 设Y是随机变量，如果对于任意实数y有，则Y～N（a，σ²）；如果对任意实数y有，则