2016考研数学（一）名师精选，全真模拟冲刺题10套解答

一、选择题

答案

（1）当｜x｜≤1时，由1≤知；

当x＞1时，，所以

显然f（x）在（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）上可导，但由

知，f（x）在点x=1处不可导.此外，由f（x）是偶函数知f（x）在点x=-1处也不可导.因此选（C）.

附注 由于f（x）是由数列极限确定的，所以要讨论它的可导性，首先要通过数列极限计算，确定f（x）的解析表达式.

（2）由于，所以

F′（x）=2cos²2x，F″（x）=-4sin4x.

因此选（D）.

附注 要计算时，首先应将被积函数中的x移到积分号外，或移到积分限中去.

（3）由于当AC-B²=0时，f（x₀，y₀）可能是极值，也可能不是极值，所以选项（C）不正确.因此选（C）.

附注 （C）的不正确性可用下列例子说明：

设f₁（x，y）=x³+y³，记（x₀，y₀）=（0，0），则f′_x（x₀，y₀）=f′_y=（x₀，y₀）=0，且AC-B²=0.此时，f（x₀，y₀）=0不是f（x，y）的极值.

设f₂（x，y）=x⁴+y⁴，记（x₀，y₀）=（0，0），则f′_x（x₀，y₀）=f′_y（x₀，y₀）=0，

且 AC-B²=0.此时，f（x₀，y₀）=0是f（x，y）的极值（极小值）.

（4）由于Ω关于xOy平面对称，也关于yOz平面对称，且被积函数z在对称点处的值不变，所以.因此选（C）.

附注 设三重积分.如果V具有某种对称性，且f（x，y，z）在对称点处的值彼此相等（或互为相反数），则

其中V₁是V按上述的对称性划分成的两部分之一.

（5）由于所以，.因此选（B）.

附注 题解中应用了以下公式（应记住）：

设A是n阶矩阵，则｜A^∗｜=｜A｜^n-1（n≥2），｜kA｜=kⁿ｜A｜（k是常数）.

设A是n阶可逆矩阵，则A^∗=｜A｜A^-1.

设A，B分别是m，n阶可逆矩阵，则

（6）由题设知r（P）+r（Q）≤3.由于当t≠6时，r（Q）=2，所以此时r（P）≤1.此外，由P是非零矩阵知，r（P）≥1.从而r（P）=1.因此选（C）.

附注 本题也可按以下方法计算：

当t≠6时，r（Q^T）=2，所以齐次线性方程组Q^Tx=0的基础解系中只包含3-2=1个线性无关的解向量.从而由Q^TP^T=O知，非零矩阵P^T的线性无关列向量个数为1，即得r（P）=r（P^T）=1.

（7）记A₁={第一次取到的是一等品}，

A₂={第二次取到的是一等品}，则，其中

所以.因此选（A）.

附注 题解中的P（A₁∪A₂）也可按加法公式计算：

显然，它没有题解中的计算简捷.

（8）由于，所以由列维—林德柏格中心极限定理得

因此选（A）.

附注 列维—林德伯格中心极限定理是：

设X₁，X₂，…，X_n，…是相互独立同分布的随机变量序列，它们的数学期望都为μ，方差都为σ²，则对任意实数x，有

其中，Φ（x）是标准正态分布函数.

二、填空题

（9）由于f（0）=0；x＜0时，；x＞0时，，所以方程f（x）=0的实根个数为1.

附注 题解中应注意的是，而.

（10）记，则

所以，

于是 f（x）=x+2-π，从而

附注 本题获解的关键，是注意到是常数.

（11）由，所以

附注 计算时，要注意y是x的函数，而可由方程e^x+siny=x两边对x求导得到.

（12）由于所给微分方程可以改写成

（xcosydy+sinydx）+（cosxdy-ysinxdx）=0，

即 d（xsiny+ycosx）=0. 因此通解为xsiny+ycosx=C.

附注 对于微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，有时将P（x，y）dx+Q（x，y）dy，经适当转换后分成若干组，使各组分别是某个二元函数的全微分，由此得到所给微分方程的通解.本题就是按此方法求解的，十分快捷.

（13）由于A～B，所以B有特征值-2，-1，1，2，从而B∗有特征值

所以

附注 题解有两点值得注意：

（Ⅱ）设A，B是相似的n阶矩阵，则A-E_n=B-E_n.

（14）由于E（X³+2Y²）=E（X³）+2E（Y²），其中

所以，

附注 在E（X³）的计算中，对于不必再作积分计算，这是因为它可由直接得到.

三、解答题

（15）由于y″+y=0的特征方程的根为λ=-i，i，所以它的通解为Y=C₁cosx+C₂sinx.此外，所给微分方程

y″+y=5e^2x+2sinx（1）

应有特解y∗=Ae^2x+x（B₁cosx+B₂sinx）.将它代入式（1）得

5Ae^2x-2B₁sinx+2B₂cosx=5e^2x+2sinx.

由此得到A=1，B₁=-1，B₂=0.所以，y∗=e^2x-xcosx，从而式（1）的通解为y=Y+y∗=C₁cosx+C₂sinx+e^2x-xcosx.

附注 应记住常系数线性微分方程的解法.

（16）（Ⅰ）显然{a_n}是正项数列，且由

界.此外，由

知，{a_n}单调不增.从而由数列极限存在准则知，存在，记为a.对递推式两边取极限得，所以a=1，即

（Ⅱ）由于，所以所给幂级数的收敛半径R=2.

当x=2，-2时，所给幂级数分别为，显然它们的通项极限都不为零，所以所给幂级数在点x=2，-2处都是发散的，故收敛域为（-1，1）.

附注 计算幂级数的收敛域步骤如下：(www.xing528.com)

（Ⅰ）计算的收敛半径，记为R.

（Ⅱ）当R=+∞时，的收敛域为（-∞，+∞）；当R=0时，的收敛域为{0}；当R为正数时，的收敛域为（-R，R）与其收敛端点之并集.

（17）记A，则于是有

即

所以从而

由于在D内，f′_x=xy+1＞0，，所以f的最值只能在D的边界C₁：y=0（0≤x≤1），C₂：x=1（0≤y≤1）及C₃：y=x²（0≤x≤1）上取到.

在C₁上，f（x，y）=x（0≤x≤1），故最大值为1，最小值为0.

在，故最大值为，最小值为1.

在C₃上，.由于在（0，1）上，，所以f（x，y）在C₃上的最大值为，最小值为φ（0）=0.

因此，f（x，y）在D上的最大值为，最小值为0.

附注 二元连续函数f（x，y）在有界闭区域D上的最值计算步骤如下：

第一步 计算f（x，y）在D的内部的可能极值点，记为

（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）.

第二步 计算f（x，y）在D的边界C上的最大值与最小值，分别记为M₁与m₁，则f（x，y）在D上的最大值为

M=max{f（x₁，y₁），f（x₂，y₂），…，f（x_n，y_n），M₁}；

最小值为

m=min{f（x₁，y₁），f（x₂，y₂），…，f（x_n，y_n），m₁}.

（18）作辅助函数F（x）=f（x）-x，则F（x）在[0，1]上连续，且

F（0）F（1）=f（0）[f（1）-1]＜0，

所以由零点定理知，存在ξ∈（0，1），使得F（ξ）=0，即f（ξ）=ξ.（1）

下面用反证法证明ξ的唯一性.设另有η∈（0，1），使得f（η）=η，不妨设η<ξ，则

f（ξ）-f（η）=ξ-η.

由拉格朗日中值定理知，存在θ∈（η，ξ）⊂（0，1），使得

f′（θ）（ξ-η）=ξ-η，即f′（θ）=1.

这与题设f′（x）≠1（x∈[0，1]）矛盾.因此满足式（1）的ξ是唯一的.

附注 唯一性问题，往往用反证法证明.本题就是如此.

（19）由于 z′_x（0，0）=f′_x（0，0）+f′_y（0，0）·f′_x（0，0）=0，

z′_y（0，0）=f′_y（0，0）·f′_y（0，0）=1，

所以，π的方程为z′_x（0，0）（x-0）+z′_y（0，0）（y-0）-（z-0）=0，即z=y.

于是，C的方程为

由此得到

附注 在计算关于坐标的曲线积分时，用C的方程消去Pdx+Qdy+Rdz中的一个积分变量，例如消去z，则所给的曲线积分化简为（其中C_xy是C在xOy平面的投影），于是通过它的计算即得

这是比较快捷的方法，本题的曲线积分就是按此法计算的.

（20）由于

所以由题设知，即a=2，b=8，c=-10.此时所给方程组与（Ⅱ）同解.（Ⅱ）的导出组的基础解系为C（1，1，1）^T，此外（Ⅱ）有特解，所以（Ⅰ）的通解为

对上述算得的a，b，c知，

设ξ在基η₁，η₂，η₃下的坐标为y₁，y₂，y₃，则

比较式（1）与式（2）得

即

所以，所求的坐标为26，16，-8.

附注 由所给方程组有两个不同解可得，这个方程组对应的齐次线性方程有非零解，所以系数矩阵的秩≤2，此外由系数矩阵本身可知，其秩≥2.因此系数矩阵的秩=2.从而有

（21）由于即可逆线性变换下成为y²₁+y²₂+y²₃，所以g（x₁，x₂，x₃）是正定二次型，其规范形为y²₁+y²₂+y²3.

由于f（x₁，x₂，x₂）是非正定二次型，所以，它的矩阵

的顺序主子式不全为正，故有c≤2.从而由题设c≥2得c=2.于是

由于，所以A有特征值λ=0，1，3.

设A的对应λ=0的特征向量为ξ=（a₁，a₂，a₃）^T，则它满足

可取它的基础解系为ξ，即ξ=（-1，-1，1）^T.

设A的对应λ=1的特征向量为η=（b₁，b₂，b₃）^T，则它满足

可取它的基础解系为η，即η=（1，-1，0）^T.

设A的对应λ=3的特征向量为ζ=（c₁，c₂，c₃）^T，则由A是实对称矩阵知

可取它的基础解系为ζ，即ζ=（1，1，2）^T.

显然，ξ，η，ζ是正交向量组，现将它们单位化：

记（正交矩阵），则正交变换x=Qz（其中x=（x₁，x₂，x₃）^T，z=（z₁，z₂，z₃）^T）将f（x₁，x₂，x₃）化为标准形z²₂+3z³_3.

附注 由于φ（x₁，x₂，x₃）=（x₁，x₂，x₃）B（x₁，x₂，x₃）^T（B是实对称矩阵）为正定二次型的充分必要条件是它的矩阵B的顺序主子式都大于零.故当题中f（x₁，x₂，x₃）不是正定二次型时，它的矩阵的顺序主子式1，，A=c-2不全大于零，于是有c≤2.

（22）由于

所以，

于是由

此外，由得

附注 当已知f_Y（y），f_X|Y（x|y）时，可按以下公式计算f（x，y）：

同样当已知f_X（x），f_Y|X（y|x）时，可按以下公式计算f（x，y）：

（23）记Z的分布函数为F（z），则

所以，Z的概率密度为

由此得到似然函数

即

上式两边对λ求导得

于是由得λ的最大似然估计值为

附注 应熟练掌握参数点估计的两种方法：矩估计法与最大似然估计法.