2016考研数学名师精选全真模拟试题及解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答∙题∙纸∙指定位置上.

（1）设函数，则y（n）为

[ ]

（2）设，，则它们大小次序为

（A）M＜N＜P. （B）N＜M＜P.

（C）P＜M＜N. （D）P＜N＜M.

[ ]

（3）微分方程x²y″+xy′+y=2sinlnx应有的特解形式为

（A）acoslnx+bsinlnx； （B）（acoslnx+bsinlnx）lnx.

（C）axcoslnx. （D）bxsinlnx.

[ ]

（4）收敛半径R=1是幂级数在点x=-1处条件收敛的

（A）充分而非必要条件. （B）必要而非充分条件.

（C）充分必要条件. （D）既非必要又非充分条件.

[ ]

（5）设A是n阶可逆矩阵，α是A的对应特征值λ的特征向量，且存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则

（A）B^∗有特征值λ及对应的特征向量P^-1α.

（B）B^∗有特征值λ及对应的特征向量（P^∗）-1α.

（C）B^∗有特征值及对应的特征向量P^-1α.

（D）B^∗有特征值及对应的特征向量（P^∗）-1α.

[ ]

（6）设有n维列向组（Ⅰ）：α₁，α₂，…，α_m和（Ⅱ）：β₁，β₂，…，β_m（m≤n），记矩阵A=（α₁，α₂，…，α_m）和B=（β₁，β₂，…，β_m），则下列命题不∙正∙确∙的是

（A）当（Ⅰ）与（Ⅱ）等价时，（Ⅰ）与（Ⅱ）等秩.

（B）当（Ⅰ）与（Ⅱ）等秩时，（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.

（C）当A与B等价时，A与B等秩.

（D）当A与B等秩时，A与B等价.

[ ]

（7）袋内有7个球，其中4个红球，3个白球.现不放回地取球，每次取1个，记

A={第二次取球才取到白球}，

B={第二次取球取到的是白球}，

则它们的概率分别为

[ ]

（8）设X～N（a，σ²），Y～N（b，σ²），且相互独立.现分别从总体X和Y各抽取容量为9和11的简单随机样本，记它们的方差为S²_X和S²_Y，并记，则上述四个统计量S²_X，S²_Y，S²₁₂和S²_XY中方差最小者为

（A）S²_X. （B）S²_Y. （C）S²₁₂. （D）S²_XY.

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二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答∙题∙纸∙指定位置上.

（9）已知f（x）是连续函数，且满足

则f″（0）=____.

（10）设二元可微函数z=z（x，y）是由方程确定，则

（11）设有曲面S：x²+y²+z²=x，平面π₁：和π₂：x-y-z=2，则垂直于π₁与π₂的S的切平面方程为____.

（12）设C是正向椭圆4x²+y²=8x，则曲线积分

（13）已知3阶矩阵，则3阶行列式

（14）设X是离散型随机变量，其分布函数为

Y是连续型随机变量，其概率密度为，记a=P（X=1），则概率P（Y≥a）=____.

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答∙题∙纸∙指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）设区域，分别求D绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转体体积V_x与Vy.

（16）（本题满分10分）

设二元函数n为大于1的正整数.分别计算使f（x，y）在点（0，0）处连续与可微的最小n的值.

（17）（本题满分10分）

设数列{x_n}满足x₁＞0，，求极限

（18）（本题满分10分）

求幂级数的收敛域与和函数.

（19）（本题满分10分）

设对于半空间x＞0内任意光滑有向闭曲面S，都有

其中，函数f（x）在（0，+∞）内具有连续的导数，且.求f（x）.

（20）（本题满分11分）

设方程组Ax=β有解（1，2，2，1）^T和（1，-2，4，0）^T，其中，A=（α₁，α₂，α₃，α₄）的秩为3，且α₁，α₂，α₃，α₄都是4维列向量，求方程组By=α₁+2α₂的通解，其中，矩阵B=（α₃，α₂，α₁，β-α₄）.

（21）（本题满分11分）

设f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx，其中，x=（x₁，x₂，x₃）^T，

（Ⅰ）求二次型f（x₁，x₂，x₃）的矩阵B（实对称矩阵），并计算B有特征值λ=0，1，4时常数a，b的值.

（Ⅱ）对上述算得的a，b值，用正交变换x=Qy（Q是正交矩阵，y=（y₁，y₂，y₃）^T）将f（x₁，x₂，x₃）化为标准形.

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，求

（Ⅰ）（X，Y）的条件概率密度f_X|Y（x|y）（y＞0）.

（Ⅱ）概率P（X＞2|Y＞4）和P（X＞2|Y=4）.

（23）（本题满分11分）

设总体X的概率分布为

（Ⅰ）试利用总体X的简单随机样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值θ^.

（Ⅱ）设X₁，X₂，…，X_n是来自X（其未知参数θ为（Ⅰ）中确定的θ^）的简单随机样本，则由中心极限定理知，当n充分大时，取值为2的样本个数Y近似地服从正态分布，求此正态分布的两个参数μ和σ².