【摘要】：在量子力学中，由于微观粒子具有波粒二象性，其状态不能由位置和速度（动量）来确定，必须由波函数来描述。1926年，薛定谔提出的方程解决这个问题，这个方程称为薛定谔方程。薛定谔方程的普遍形式表明，哈密顿算符决定了微观粒子体系的状态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。当我们探索用新的理论模型来解释物理现象时，核心问题之一就是要找到该体系哈密顿算符的合理表达式。
在经典力学中，质点的运动规律遵从牛顿运动定律，如果已知质点的受力情况及初始条件，就可以知道任意时刻质点的运动状态。在量子力学中，由于微观粒子具有波粒二象性，其状态不能由位置和速度（动量）来确定，必须由波函数来描述。问题在于如何由已知时刻t的波函数求得此后各时刻的波函数？1926年，薛定谔提出的方程解决这个问题，这个方程称为薛定谔方程。
1.自由粒子的薛定谔方程
一维自由粒子的波函数为
将上式对时间t取一阶偏导数和对x取二阶偏导数得
利用非相对论情形中自由粒子能量与动量的关系式
2.薛定谔方程的普遍形式
若粒子不是自由的，而是在某种势场中运动，则粒子的总能量E应等于动能Ek和势能U之和，即(www.xing528.com)
对于任意的一个平面单色波
将式（10—17）用相应的算符代替，再作用于上述波函数得
令
称为哈密顿算符，则式（10—17）可以表示为
称为含时间的薛定谔方程——薛定谔方程的普遍形式。
薛定谔方程的普遍形式表明，哈密顿算符决定了微观粒子体系的状态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。当我们探索用新的理论模型来解释物理现象时，核心问题之一就是要找到该体系哈密顿算符的合理表达式。按照对应原理，哈密顿算符作为算符r与p的函数，与经典分析力学中哈密顿量H作为r与p的函数，在形式上是相同的。
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