大学物理中的静电场环路定理

首先从库仑定律和场的叠加原理出发，证明静电场力做功与路径无关，因为静电场是保守场，然后引入电势能。

将试探电荷q0引入到由点电荷q所产生的电场中，当试探电荷q0沿任意路径L由点P移到点Q时，考察电场力所做的功。如图6—11所示，点P和点Q到场源电荷q的距离分别为rp和rQ，而路径上的任意一点C到场源电荷q的距离为r，此处点C的电场强度为

图6—11　电场力做功

如果试探电荷q0在点C附近沿L移动了位移元dl，那么电场力所做的元功为

dA=q0E·dl=q0Ecosθdl=q0Edr

式中，θ是电场强度E与位移元dl之间的夹角；dr是位移元dl沿电场强度E方向的分量。

试探电荷q0由点P移到点Q电场力所做的总功为

上式表明：在由点电荷q产生的电场中，试探电荷q0运动过程，电场力所做的功只与始点和末点的位置有关，而与运动路径无关。这就是说，点电荷所产生的电场是保守场。

任何一个带电体都可以看成由许多很小电荷元组成的集合体，每一个电荷元都可以认为是点电荷。整个带电体在空间产生的电场强度E等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和，即(www.xing528.com)

E=E1+E2+…+En

在电场强度为E的电场中，试探电荷q0从点P移动到点Q电场力所做的总功可以表示为

既然E1，E2，…，En是各个点电荷单独产生的电场强度，那么q0E1，q0E2，…，q0En就是试探电荷q0在各个点电荷单独产生的电场中所受到的电场力。所以，式（6—11）中的每一项积分都表示q0在各个点电荷单独产生的电场里从点P移到点Q电场力所做的功。已证明：每一项电场力所做的功都与路径无关，电场力所做的总功A也必定与路径无关。于是得到结论：在任何静电场中，电荷运动时电场力所做的功只与始点和末点的位置有关，而与电荷运动的路径无关。这就表明，静电场是保守场。

保守力的特征表示为

物体在保守力作用下沿任意闭合路径L运行一周，保守力所做的功恒等于零。试探电荷q0从任意一点出发，沿任意闭合路径运行一周又回到该点，电场力所做的功也必定等于零，即

于是，得

式（6—13）表示，在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的环路积分等于零，这就是静电场的环路定理。该定理与静电场是保守力场的说法是完全等价的。静电场的环路定理是表述静电场性质的重要定理之一。