大学物理：质点角动量计算全解

如图2—9所示，设有一个质量为m的质点位于直角坐标系中点A，该点相对原点O的位矢为r，并具有速度υ（即动量为p=mυ）。我们定义，质点m对原点O的角动量为

图2—9　质点的角动量

质点的角动量L是一个矢量，它的方向垂直于r和υ的平面，并遵守右手法则：右手拇指伸直，当四指由r经小于180°的角θ转向υ时，拇指的指向就是L的方向。至于质点角动量L的值，由矢量的矢积法则知

式中，θ为r与υ之间的夹角。

应当指出，质点的角动量与位矢r和动量p有关的，也就是与参考点O的选择有关。因此，在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。

若质点在半径为r的圆周上运动，在某一时刻，质点位于点A，速度为υ。如以圆心O为参考点（见图2—10），那么r与υ（或p）总是相互垂直的。于是质点对圆心O的角动量L的大小为

因为υ=rω，上式亦可写成

至于L的方向应平行于过圆心且垂直于运动平面的z轴，与ω的方向相同。

图2—10　确定角动量方向的右手定则

1.质点的角动量定理

设质量为m的质点，在合力F作用下，其运动方程为

由于质点对参考点O的位矢为r，故以r乘上式两边，有

(www.xing528.com)

考虑到

而且

故式（2—23）可写成

式中，r×F称为合力F对参考点O合力矩。于是上式为

上式表明，作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率。这与牛顿第二定律形式上是相似的，只是用M代替了F，用L代替了p。

上式还可写成

Mdt=dL

Mdt为力矩M与作用时间dt的乘积，叫作冲量矩。上式取积分有

式中，L1和L2分别为质点在时刻t1和t2对参考点O的角动量，为质点在时间间隔（t2-t1）内对参考点O所受的冲量矩。因此，上式的物理意义：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。这就是质点的角动量定理。

2.质点的角动量守恒定律

由式（2—24）可以看出，若质点所受合力矩为零，即M=0，则有

式（2—25）表明，当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。这就是质点的角动量守恒定律。

应当注意，质点的角动量守恒的条件是合力矩M=0。这可能有两种情况：一种是合力F=0；另一种是合力F虽不为零，但合力F通过参考点O，致使合力矩为零。质点做匀速率圆周运动就是这种例子。质点做匀速率圆周运动时，作用于质点的合力是指向圆心的向心力，故其力矩为零，所以质点做匀速率圆周运动时，它对圆心的角动量是守恒的，不仅如此，只要作用于质点的力是向心力，向心力对力心的力矩总是零，所以，在向心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的向心力，因此如果以太阳为参考点O，则行星的角动量是守恒的。