在关系模式的规范化处理过程中，只知道一个给定的函数依赖集合是不够的，还需要知道给定的函数依赖集合所蕴含的有函数依赖的集合，并进行合理的推演，以保证对关系模式进行分解后仍然不丢失函数依赖，也不会凭空增加函数依赖。对于关系模式的函数依赖，有一套完整的推理规则，称为阿姆斯特朗公理（Armstrong axioms）。利用该推理规则，由一组已知函数依赖可推导出全部的函数依赖。
（一）定义3-7
逻辑蕴涵（logical implications）：R（U，F）是一个具有属性集合U的关系模式，F是R上的一个函数依赖集合，如果对于R的任意一个使F成立的关系实例r，函数依赖X→Y均成立，则称F逻辑蕴涵X→Y。
1.阿姆斯特朗公理体系
阿姆斯特朗公理：设R（U，F）是一个具有属性集合U的关系模式，F是R的一个函数依赖集合，X⊆U，Y⊆U，Z⊆U。阿姆斯特朗公理包含下面的规则。
（1）包含规则（include rule，又称自反律）：若Y⊆X⊆U，则X→Y为F所蕴涵。
（2）传递规则（transitivity rule）：若F蕴涵X→Y，Y→Z，则X→Z为F所蕴涵。
（3）增广规则（augmentation rule）：若F蕴涵X→Y，且Z⊆U，则XZ→YZ为F所蕴涵。(www.xing528.com)
2.闭包、覆盖和最小覆盖
对于一个关系模式R（U，F），根据已给函数依赖集F，利用一些推理规则求出其全部的函数依赖是非常困难的，为了方便地判断某属性（或属性组）能决定哪些属性，则需要了解属性集闭包的概念。
（二）定义3-8
函数依赖集的闭包：设R是一个具有属性集合U的关系模式，F是给定的函数依赖集合，由F推导出的所有函数依赖的集合，称为F的闭包，记作F+。
考虑给定的函数依赖集F＝｛A→B，B→C，C→D，D→E，E→F｝，请分析由F可推出的函数依赖有哪些？数量是多少？
分析由传递规则，A→B和B→C可推出A→C，B→D。实际上，在序列 ABCDEF中，任何属性只要不是最后一个，都可以通过传递规则来决定序列中出现在它右边的第一个属性。通过平凡函数依赖A→A，使用合并规则，可以生成其他函数依赖，如A→ABCDEF、B→BCDEF等。由A→ABCDEF可以得到A确定任何ABCDEF的非空子集，共26-1＝63个。
从以上分析可知，函数依赖集F推出的函数依赖可能以指数级的速率增长。我们的目标是找到一种方法来求出等价于F的函数依赖的一个最小集，并给出相应的算法。
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