量子力学的逻辑建立：历史故事与本质困难的探索

物理学经常为了一小片的和谐，导致大面积看起来不和谐。而我们最终不得不接受这大面积的看起来不和谐并习惯之。这成了一个自然的诉求，因为我们没法界定什么时候该用一套理论，什么时候该放弃。事实上，我们一直希望一套理论可以贯穿各个相关的领域，不必为制定理论适用的范围而给出更多的假设。注意，我们会常用到“假设”这个词，其实“前提条件”会更容易让读者接受，“假设”并不是假的，它通常是大量现实经验的总结归纳而成为某一套学说建立的起点。显然，对于边界的限定涉及更多的假设和实验验证，我们又不得不希望遵从极简化的原则建立一个自洽的理论体系。

接下来，关于量子力学，我们尽量少谈历史，因为大多数量子力学的教材都会按历史的顺序来讲，而我又不是历史老师，“白发宫女话天宝”不是这本书的目的。我会尽量从这些证据之间的逻辑关系，说明得出结论是因为逻辑上我们没有别的选择，或者尚不能找到更好的替代品。而当读者更多地了解量子力学之后，会发现按照历史故事来传授量子力学，是怎样一个避开本质困难而颇有投机味道的方式。

1900年开尔文勋爵在跨世纪的皇家学会的演讲上宣布，物理世界能做的几乎都做完了，万里晴空之上只有两朵小乌云让人们觉得不安。这两朵乌云指的是两个让物理学家觉得困惑的问题，一个是人们测不出来光相对于以太运动的速度变化；另外一个是紫外灾难，似乎光的能量在颜色趋向紫外时会变得无穷大，而无穷大是一个物理上极其不喜欢的概念。为了以太里光速的和谐，我们引入了狭义相对论，而为了黑体辐射的紫外灾难的和谐，人们发现了量子力学。

19世纪后期由于照明设备和冶金铸造的需要，人们希望找到发光体的温度和它发出的光的颜色的关系，这样就可以通过发热物体的颜色来判断它的温度。比如在制造电灯的过程中，人们注意到灯丝的温度可以改变发光的颜色，红色灯丝温度低，而黄色灯丝温度高。为了排除“有别的原因作为解释”（我们时时提防这种情况的出现而会让我们的结论站不住脚），比如物体本身的颜色会干扰发光和温度的对应关系，人们选择了一种特殊的物理模型，叫作黑体。对黑体而言，它是理想的吸热体，也是理想的发光体，低温时容易吸收光，高温的时候容易放出光。科学家们发现，低温的黑体发射红光，温度越高黑体发出光的颜色越偏蓝紫。实验物理学家测量了黑体温度和光波波长对应的关系。我们看到，对于每一个温度，曲线都是一个单峰，从零波长时的强度为零，上升到一个最大值，然后强度又随着波长的增大而减弱，直至为零，而随着温度的增加，峰的最大值向紫外移动。

图2–1 辐射光强与辐射黑体的温度关系

1898年鲁本斯（Heinrich Rubens）通过研究空腔辐射得出了黑体辐射光谱的实验数据。继而瑞利（John W. Strutt，Third Baron Rayleign）根据经典统计力学推出了一个公式：瑞利——金斯（James H. Jeans）公式，在光的长波段它跟实验数据符合的很好。同时威廉·维恩（Wilhelm Wien）提出另外一个公式，维恩公式在短波范围内相当符合实验数据，但在长波范围内偏差较大；而瑞利——金斯公式却正好相反，它在长波段很符合，但当辐射出紫外光的时候，这个公式会算出来发射体的能量趋向无穷大，这在物理上是不允许的，会导致“紫外灾难”。1900年普朗克把两个公式拟合起来，建立了新的黑体辐射定律的公式。普朗克得到的公式在全波段范围内都和实验结果符合的相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布，但得到普朗克公式的假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，即“量子化”的。如果读者不熟悉这个词，姑且用“颗粒化”来代替它，只有认为能量是一粒一粒的能量包，普朗克的公式才说得通。而这些基本能量包的大小只与电磁波的频率成正比，电磁波的能量必须是一份一份颗粒化的。但人们习惯于经典的能量表达，比如动能 ，质量m是连续变化、无限可分的，速度v也是连续的，它们的表达式能量E却是不连续的，这怎么可能？！这事实上让普朗克本人非常不喜欢。普朗克的能量量子化假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念要早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身就是量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔内微小振子而言的，用半经典的语言来说就是有束缚的边界，电磁波在黑体内部振荡，黑体就为电磁波的振荡提供了边界，像在两个固定点之间振荡的绳子一样，两点间的距离是绳子振动半波长的整数倍，就必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他相信这仅仅是一种数学上的处理手段，恰巧能够使理论和经验上的实验数据在光的全波段范围内吻合，能量本身应该还是连续的。可是另外一方面，人们很快发现别的一些证据。19世纪人们已经懂得用静电计演示电荷的存在。当把电极跟一块金属板连接在一起，并用强光照射金属板时，会发现静电计上的电荷会改变。乍一看这可以用光的波动性质来解释。波的能量带来的电子的扰动，电子像水波上的小球，扰动很强的话就把电子从金属里踢了出来形成自由电荷。但是，人们发现，对于波长长的光，比如红色，即使光强很强，照射的时间也很久，电荷也不会跑出来，反而对于波长短偏紫的光，即使光比较弱，电荷也会跑出来，改变静电计上的读数。电荷能不能出来，跟光的强度并没有直接关系，只跟光的颜色有关。如果考虑光是能量波，光强越大对应于能量越高，这就解释不了为什么起作用的是颜色而不是光强，毕竟，对光而言，颜色只代表了波长或者说频率的信息。

图2–2 黑体辐射的紫外灾难

图2–3 腔内的电磁波量子化，腔的长度应是电磁波长的半整数倍

爱因斯坦发展了普朗克关于能量微粒的想法。他在1905年的工作里干脆大胆假设能量本身就是量子化的，即一粒一粒的能量小颗粒，而光就是由这样的能量小颗粒组成。一粒一粒的光打在金属表面敲击电子，使金属里的电子跑出来，从而产生电流。紫色对应于能量比较高的光粒子，红色对应于能量比较低的光粒子。光粒子打金属里的电子，就像用球打保龄球瓶子，如果用一个一个乒乓球去打，由于乒乓球能量小很多，保龄球瓶并不会动。无论多少乒乓球依次打过来，球瓶都不会动，但当能量很高的保龄球过来，瓶子就被碰飞了。用类似的想法，爱因斯坦解释了光电效应。但相反，如果假设光的能量不是分立的而是连续的，能量积累的时间长了，总能够让电子变成能量很大的自由电子而使导体导电，光电效应的实验结果就解释不通了。爱因斯坦因此获得了1921年的诺贝尔奖，但他的相对论，直到二十年代初还有学术上的争议，并且缺乏足够确定的实验验证，没有在他的诺贝尔物理学奖声明中被提到。(www.xing528.com)

图2–4 光电效应实验

光是量子的颗粒这个想法很快被路易·德布罗意（Louis V. de Broglie）借鉴，他干脆往前继续推进了一步。不仅光是量子化的，他假设所有的物质都是量子化的，都可以被看成波和粒子。被看成波，它波动的波长就是h/p，普朗克常数h除以粒子的动量p；如果被看成粒子，它的能量就是hν，普朗克常数h乘以物质波的频率ν。如果只看德布罗意的这篇论文，你可以认为它有点神秘论的味道，因为没有实验的证据，只是大胆假设。但德布罗意绝对不是一个无出身、无家学、凭空而来、没有受过正规训练的科学家，有时候我们说物理学是贵族的玩意儿，就以德布罗意为例，正经的贵族，法国公爵和德国亲王。谨慎起见，德布罗意在他的博士论文里刻意回避明确的物质波的概念，他只说到可以用位相波的概念来理解，认为可以假想有一种特殊的波。可是究竟是一种什么波呢？在博士论文结尾处，他特别声明：“我特意将位相波和周期现象说得比较含糊，就像光量子的定义一样，目前可以说只一种解释，因此最好将这一理论看成物理内容尚未说清楚的一种表达方式，而不能看成是最后定论的学说。”所以说，看似神秘论不一定是坏事，停留在神秘论上不去设法求证检验才是坏事。科学的精髓在于不仅有能力大胆假设，而且要求有能力小心求证，在有确凿的证据之前，一定要对自己的声明非常小心，有一分证据说一分话，并且也时时提醒读者这样假设的依据是什么。

1927年，美国的戴维森（Clinton J. Davission）和革末（Lester H. Germer）及英国的乔治·汤姆孙（George P. Thomson）通过电子衍射实验，各自证实了电子作为一个有质量的物质粒子确实具有波动性，从而肯定了物质波的存在。至此，德布罗意的理论作为大胆假设而成功的例子，获得了普遍的认可，他也因此获得了1929年诺贝尔物理学奖。

图2–5 电子的衍射实验，验证了电子的波动性

从严格的数学描述入手，薛定谔（Erwin Shrödinger）认为既然物质可以用波来表示，就一定要有一个波动方程来描述这些粒子。于是薛定谔带了一个神秘的妹子去滑雪。至今没有任何记载说这个妹子是谁，但当他度假回来的时候，薛定谔已经有量子力学的波动描述的全套理论了。1926年薛定谔发表他的波动力学论文时明确地说：“这些考虑的灵感，主要归因于德布罗意先生独创性的论文。”我们称这套描述的数学方法为薛定谔方程。

由于量子的波函数描述的是物质的分布概率，我们在研究物质波演化的时候也是在研究概率的变化，而不是一个具体在传播的“波”。这一点跟经典的波是不一样的，水波的连续性是可以观测到的，组成水波的粒子的运动是连续的。然而物质波的演化是一个概率变化的过程。电子从一个原子轨道变化到另外一个原子轨道的概率是随着时间逐渐变化的，而不是真的需要电子从一个地方以波的形式运动到另外一个地方，导致了确定的轨迹。对电子而言，它在原子周围的一个轨道是一个弥散的可能性分布，密度大的地方概率大，密度小的地方概率小。它从一个轨道跃迁到另外一个轨道，只是它出现在空间某一处的概率发生了改变，而不是像发生在经典世界里卫星从地球轨道跑到火星轨道上那样的轨道变化。概率的变化规律被薛定谔方程描绘。如果你还是不太明白的话，这个图像虽然不严谨，但也许能帮你了解个大概。首先，你要放弃掉具体的波的形象，先理解概率。我们说氢原子的基态波函数是一个球形的电子云，是说电子的出现概率像下图一样，它的激发态是一个哑铃状的原子云，当氢原子从基态向激发态跃迁的时候，是通过两个对应概率分布的重合部分由球状变为哑铃状，氢原子没有从一个“轨道”跳到另外一个“轨道”的经典图像。

在薛定谔方程的预言下，由于电子的不同分布概率状态间会有能量的差异。电子在这些状态间跃迁会有能量差放出来，这些能量差对应于不同颜色的光，从而产生了原子的光谱，这是人们在实验上可以精确测量的。通过薛定谔的波动方程，人们计算了氢原子的能级，结果与实验精确吻合。其他原子的一系列光谱测量结果，也验证了薛定谔方程的正确。虽说有爱因斯坦这样的大神在不断对量子力学提出挑战，直到这本书写作的今天，我们进行的所有实验，都没有发现违背量子力学规律的。量子力学历史上反对的声音终于越来越少了，不是相信量子力学的人多了，而是反对它的人都死了。

图2–6 氢原子不同态的电子云（左）；氢原子能级的跃迁（右）