【习题9.1】试分析下列问题：
（a）摩擦力在什么情况下做功？摩擦力一定做负功吗？举例说明。
答：摩擦力在力作用点速度不始终为零的情况下做功。摩擦力不一定都做负功，例如，在加速向前运动平板上的小物块，小物块能够跟着加速向前运动，动能变大，正是因为平板施加于小物块的摩擦力做了正功的缘故。
（b）均质圆柱体放在斜坡上，由静止释放。请问：对于斜面绝对粗糙和绝对光滑两种情况，哪种情况下圆柱体先到达坡底？为什么？
答：均质圆柱体放在斜坡上，由静止释放，斜面绝对光滑情况下圆柱体先到达坡底。因为两种情况下都只有重力做功，功率与圆柱体质心速度成正比，P＝mgvCsinθ，斜面绝对光滑时，圆柱体滑下（平动），动能与质心速度的关系为T＝mv2C／2，而斜面绝对粗糙时，圆柱体滚下（平动加转动），动能与质心速度的关系为T＝3mv2C／4，由功率方程易知，两种情况下圆柱体质心的加速度均是常量，但斜面绝对光滑时比斜面绝对粗糙时要大，所以斜面绝对光滑情况下圆柱体先到达坡底。
（c）如图9.5所示，均质杆OA和OB的O端用铰链连接，中点间连有弹簧，AB间系有绳子。初始时，弹簧处于压缩状态，该系统静止地放在光滑的水平面上。如果绳子突然断了，请问系统的动量如何变化，对任意点的动量矩如何变化，系统的动能如何变化？
答：如果绳子突然断了，系统的动量不变，对任意点的动量矩不变，系统的动能变大。（d）如果质点系的动量守恒，对任意点的动量矩也守恒，那么其动能是否变化呢？
答：质点系的动量守恒，对任意点的动量矩也守恒，质点系的动能是否变化决定于质点系的全部力（外力和内力）是否做了功。
（e）质量为m的均质圆盘放在光滑水平面上，其上缠有相对圆盘无滑动的绳子，初始静止。如图9.6（a）所示，如果分3种情况施加作用力，相同时间后，哪种情况下圆盘的动能最大？
图9.5 习题9.1（c）图
图9.6 习题9.1（e）图
答：根据力系的简化及等效原理，平面运动刚体上力系的功等于力系向刚体上任一点简化所得的力和力偶做功之和。3种情况下圆盘上力系向质心简化结果如图9.6（b）所示，容易知道第3种情况，经过相同时间后，力系做的功最多，圆盘的动能最大。
答：动力学三大普遍定理所列出的方程不能相互独立，原因参看《理论力学》教材第9.5节。
（g）能量与力的功之间有什么关系？常有如下表述：“能量不灭”“能量耗散”和“机械能守恒”，这些表述各自基于何种意义？逻辑上是否存在矛盾？
答：能量与力的功是等价的。“能量不灭”是基于能量守恒原理之总能量不变而言的，“能量耗散”是基于能量转化而言的，“机械能守恒”是基于保守系统而言的，逻辑上不存在矛盾。
（h）何为保守力与非保守力？这种分类对于动力学分析有怎样的作用？
答：功不因力作用点路径不同而变化的力称为保守力，否则称为非保守力。只有保守力做功的质点系，称为保守系统，对于保守系统，可以引入势能的概念，用以计算保守力的功，为处理相关动力学问题带来了方便。
（i）质点在弹簧力作用下运动，设弹簧自然长度为l，刚度系数为k。如果将弹簧拉长至l＋2δ时释放，问弹簧的变形量从2δ到δ和从δ到0时，弹簧力所做的功是否相同？
答：由弹性力做功的计算公式知，弹簧的变形量从2δ到δ和从δ到0，弹簧力所做的功不相同。
（j）平面运动刚体的动能，是否等于刚体随任意基点作平动的动能与绕过基点并垂直于运动平面的轴转动的动能之和？为什么？
答：平面运动刚体的动能不等于刚体随任意基点作平动的动能与绕过基点并垂直于运动平面的轴转动的动能之和。由柯尼希定理可知，只有选择质心为基点，平面运动刚体的动能才可以分解为随基点的平动动能和绕基点的转动动能。
（k）同一质点由点A以大小相同但方向不同的初速度抛出，如图9.7所示。如不计空气阻力，质点落到水平面上时，3种情况下的速度大小是否相等？重力的功是否相等？重力的冲量大小是否相等？
答：3种情况下，始末位置的高度差相等，故重力的功相等。只有重力做功，由动能定理可知，速度大小相等。力的冲量是力的时间累积，时间越长，冲量越大，3种情况下，质点到达地面的时间不同，故重力的冲量不相等。
图9.7 习题9.1（k）图
图9.8 习题9.2图
【习题9.2】如图9.8所示，T形架由等长且平行的均质细杆AB和CD支持，上面静放着一物块M。杆AB和CD的长度均为l，杆、T形架及物块的质量均为m。已知图示瞬间杆的转动角速度为ω，求此时系统的动能。
【解】杆AB和CD作定轴转动，动能为
T形杆及物块M平行移动，速度与杆AB上B点的相同，vB＝ωl，两者的动能为
系统的动能为
【习题9.3】如图9.9所示，L形钢构件由两根相同的均质细钢杆焊接而成，绕与其垂直的轴O转动，角速度为ω。已知两杆长度均为l，质量均为m，轴O位于一杆的四等分点处，求该构件的动能。
图9.9 习题9.3图
其动能为
【习题9.4】如图9.10所示，质量为m、半径为R的均质圆轮A在水平地面上作纯滚动，圆轮中心处铰接一质量为m、长为l的均质细杆AB。当杆AB与铅垂线的夹角为φ时，圆轮中心的速度为v，杆AB的角速度为ω，求此时系统的动能。
图9.10 习题9.4图
图9.11
【解】轮A作平面运动，v＝ωAR，动能为
杆AB作平面运动，质心C的速度分析如图9.11所示。由余弦定理求得质心的速度为
其动能为
系统的动能为
【习题9.5】已知质点在力F＝y2i＋x2j的作用下沿曲线r＝acosti＋bsintj运动，求从t＝0到t＝π的过程中力所做的功。
【解】质点的坐标x＝acost，y＝bsint，则有力的投影Fx＝y2＝b2sin2t，Fy＝x2＝a2cos2t，该过程力所做的功为
【习题9.6】如图9.12所示，质量为4kg、长为0.5m的均质细杆OA可绕水平轴O转动。弹簧AB原长为0.5m，刚度系数为k＝10N／m，求OA从φ＝0°转到φ＝90°的过程中，重力和弹性力所做功之和。
图9.12 习题9.6图
图9.13 习题9.7图
【解】重力所做的功为
重力和弹性力所做功之和为
【习题9.7】如图9.13所示，皮带轮半径为0.5m，皮带拉力分别为F1＝1800N和F2＝600N。已知皮带轮转速为n＝120r／min，求皮带拉力的功率。
【解】轮转动角速度为
皮带拉力的功率为
【习题9.8】如图9.14所示，质量为m、半径为R的均质圆轮在绳端常力F的作用下沿水平面作纯滚动。已知拉力F与水平面成30°角，圆轮与水平面间的摩擦因数为f，滚动摩阻系数为δ，求轮心C走过路程s的过程中力的功。
图9.14 习题9.8图
图9.15
【解】圆轮受力分析如图9.15所示。竖直方向受力平衡，有
解得
则滚动摩阻力偶的力偶矩为
设在轮心C走过路程s时圆轮转角为φ，由运动学易知s＝Rφ。
只有绳端常力和滚动摩阻力偶做功。可将常力F平移到轮心，得到一个力和一个力偶，则该常力F的功就等于平移后得到的力与力偶的功之和，即
滚动摩阻力偶做负功
【习题9.9】如图9.16所示安放的弹射器。弹簧自然长度与筒长相等，均为20cm，刚度系数为2N／cm，质量可忽略不计。如果将弹簧压缩到10cm后静止释放，求质量为30g的小球离开弹射器筒口时的速度。
图9.16 习题9.9图
图9.17
【解】设离开筒口时小球速度大小为v，对小球从静止到离开筒口的过程应用动能定理。在某时刻小球的受力情况如图9.17所示。
小球的动能为
在该过程中，重力做负功，弹性力做正功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
【习题9.10】如图9.18所示，细绳OA的一端固定，另一端拴一小球A。如果小球以速度v0从OA处于水平位置开始运动，当摆至铅垂位置时，细绳碰到固定点O1处的钉子。已知绳长为l，OO1＝h，求小球达到与点O1等高的点B处时的速度。
图9.18 习题9.10图
图9.19
【解】小球的受力及运动分析如图9.19所示，研究从初始位置A点运动到B点的过程。小球的动能为
该过程中，只有重力做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
【习题9.11】如图9.20所示，绕在绞车鼓轮上的绳子拉着放在斜面上的物块。鼓轮O的质量为m1，半径为r，物块A质量为m2，斜面倾角为θ，物块与斜面间的滑动摩擦因数为f，绳子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。作用于鼓轮上、矩为M的力偶使得系统由静止开始运动，求鼓轮转过φ角时的角速度和角加速度。
图9.20 习题9.11图
图9.21
【解】研究整个系统，其受力及运动分析如图9.21所示，由运动学易知v＝ωr。
系统的动能为
系统在运动过程中，矩为M的力偶做正功，物块A的重力做负功，摩擦力Fd做负功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
式（∗）对任意瞬时均成立，其两边对时间求导得
注意到ω＝φ·，整理得
【习题9.12】如图9.22所示，行星轮系传动机构放在水平面内。已知定齿轮的半径为r1；动齿轮的半径为r2，质量为m2；曲柄OA的质量为m3。一矩为常量M的力偶作用于曲柄上，使机构由静止开始运动，求曲柄转过φ角时的角速度和角加速度（齿轮视为均质圆盘，曲柄视为均质细杆，不计摩擦）。
图9.22 习题9.12图
图9.23
【解】如图9.23所示，设曲柄转过角φ时，其角速度为ω，A点的速度为vA，动齿轮的角速度为ωA，由运动学易知
系统的动能为
系统的约束均为理想约束，只有力偶做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
式（∗）对任意瞬时均成立，其两边对时间求导得
注意到ω＝
，整理得
【习题9.13】如图9.24所示的机构中，均质细杆AB和BC的质量均为m＝2kg，长度均为l＝1m；均质圆轮C的质量为m1＝4kg，半径为R＝0.25m，沿水平面作纯滚动；弹簧两端分别连接在杆AB和BC的中点位置，自然长度为l0＝1m，刚度系数为k＝50N／m。如在点B施加一铅垂常力F（F＝60N），求系统从φ＝60°静止开始运动到φ＝0时两杆的角速度。
图9.24 习题9.13图
图9.25
【解】对题述过程应用动能定理。在φ＝0时，系统的运动分析如图9.25所示，杆BC的速度瞬心为C点，其角速度与杆AB的角速度相等，轮C此时静止。
系统的动能为
代入数据整理得
解得
【习题9.14】如图9.26所示，均质细杆AB的质量为m，长度为l，上端B靠在光滑墙壁上，下端A铰接于均质圆盘的中心。圆盘质量为m，半径为r，在粗糙水平面只滚不滑。初始时系统静止，杆与水平面的夹角为θ＝45°，求点A在初瞬间的加速度。
图9.26 习题9.14图
图9.27
【解】研究系统从静止开始的运动过程，在末了时刻系统的运动分析如图9.27所示，P点为杆AB的速度瞬心，由运动学有
系统的动能为
该过程中，只有杆的重力做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
上式两边对时间求导得
将初始瞬间数据v＝0，θ＝45°代入后解得
【习题9.15】如图9.28所示，（a）、（b）分别为在铅垂面内两种支持情况的均质细杆，其质量均为m，长度均为l，初始时均处于静止状态。受微小扰动后均沿顺时针方向倒下，不计摩擦，求处于水平位置时，两杆的角速度。
图9.28 习题9.15图
图9.29
【解】杆倒下的过程，两种情况下均只有重力做功且数值相等。
杆的初始动能均为零。
解得
【习题9.16】如图9.30所示，链条全长l＝1m，单位长度的重量q＝20N／m，对称悬挂在重量P＝10N、半径r＝0.1m的滑轮上，受微小扰动由静止开始运动。滑轮视为均质圆盘，设链条与滑轮间无相对滑动，求链条离开滑轮时的速度。
图9.30 习题9.16图
(www.xing528.com)
图9.31
【解】系统在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。设链条离开滑轮时的速度大小为v，滑轮转动的角速度为ω，由运动学易知v＝ωr。
系统的动能为
取过O点的水平面为零重力势能面。在初始位置，将链条分成三段：半圆弧段和两下垂直线段，半圆弧段（如图9.31所示）的质心坐标为
下垂直线段的质心坐标为
则初始位置系统的势能为
链条离开滑轮时，整根链条的质心坐标为
末了位置系统的势能为
由机械能守恒定律T1＋V1＝T2＋V2得
即
将q＝20N／m，r＝0.1m，l＝1m，P＝10N代入解得v≈2.5m／s。
【习题9.17】如图9.32所示，均质杆OA的质量为m＝30kg，长度为l＝2.4m，B为杆OA的中点。初始时，杆在铅直位置，弹簧处于自然状态。设弹簧刚度系数为k＝3kN／m，为使杆能由铅直位置转至水平位置，杆的初始角速度ω0至少多大？
图9.32 习题9.17图
图9.33
【解】假设杆转到水平位置时角速度刚好降为零，对杆从竖直到水平位置的过程运用动能定理，即可求得杆的最小初始角速度ω0。
系统的受力及运动分析如图9.33所示。
系统的动能为
该过程，重力和弹性力做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
即
将数据m＝30kg，l＝2.4m，k＝3000N／m，g＝10m／s2代入解得
【习题9.18】如图9.34所示，均质圆盘质量为m1，半径为R，可绕水平固定轴O转动。重物A的质量为m2，弹簧BC的刚度系数为k。OB＝R／2，当OB铅垂时，弹簧水平，系统处于平
衡状态。求重物A受扰而上下微小振动时系统的周期。
图9.34 习题9.18图
图9.35
【解】设物块静平衡时弹簧的伸长量为δ，以静平衡位置为原点建立坐标x，系统的运动分析如图9.35所示。
由运动学知v＝ωR，在任意时刻，即物块向下移动x时，系统的动能为
可写成
可见，系统的运动为简谐振动，周期为
【习题9.19】如图9.36所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，其端面上点A处固结一质量为m2的小球，A点至圆心的距离为r。OA水平时，系统由静止释放。设圆柱体沿水平面作纯滚动，求小球位于最低位置时圆柱体的角速度。
图9.36 习题9.19图
图9.37
【解】系统在运动过程中，只有小球的重力做功，机械能守恒。
小球位于最低位置时，系统的运动分析如图9.37所示，P点为速度瞬心，易知vO＝ωR，vA＝ω（R－r），此时系统的动能为
初始时刻系统的动能为
取过O点的水平面为重力场的零势能面。则系统的势能为
由机械能守恒定律T1＋V1＝T2＋V2得
解得
【习题9.20】如图9.38所示，均质半圆柱体的半径为R，在直径边竖直时将其由静止释放。设半圆柱体沿水平面纯滚动，求直径边水平时半圆柱体的角速度。
图9.38 习题9.20图
图9.39
【解】先求半圆柱体的质心位置，参考图9.39（a）。
再求半圆柱体对质心轴的转动惯量，参考图9.39（b）。
半圆柱体对O轴的转动惯量为
由平行移轴定理得到半圆柱体对质心轴的转动惯量为
最后用动能定理求解半圆柱体的角速度。
运动过程中，只有重力做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
【习题9.21】如图9.40所示，两个相同的均质圆轮，质量均为m，半径均为R，用不计质量的细绳缠绕连接。绳AB段竖直时系统由静止开始运动，求轮质心C的速度v与下落距离s之间的关系。
图9.40 习题9.21图
图9.41
【解】对系统从静止开始运动到质心下落距离s的过程应用动能定理。
质心下落距离s时，系统的受力及运动分析如图9.41所示。
由运动学可知
假设任意时刻绳子的拉力大小为F，轮O和轮C的角加速度分别为αO和α，则两轮的转动微分方程分别为
显而易见，任意瞬时两轮的角加速度都相等，即αO＝α，由于系统是从静止开始运动的，故而任意瞬时两轮的角速度也是相等的，于是得
系统的动能为
运动过程中，只有轮C的重力做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
【习题9.22】如图9.42所示，轮A、B可视为均质圆盘，当物块C至地面的距离为h时，系统处于平衡状态。已知轮A、B和物块C的质量均为m，弹簧的刚度系数为k，绳质量不计且与轮之间无相对滑动。问要给物块C多大向下的初速度v0，才能使其恰好到达地面？
图9.42 习题9.22图
图9.43
【解】系统运动过程中，只有重力和弹性力做功，故该系统机械能守恒。
系统在初始位置的运动分析如图9.43所示，由运动学可知
此时系统的动能为
物块到达地面时，速度刚好降为零，系统的动能为T2＝0。
注意到kδ＝mg，则
由机械能守恒定律T1＋V1＝T2＋V2得
解得
【习题9.23】如图9.44所示，质量为m1的均质圆管绕以细绳挂着一质量为m2的物块M，静止地放在两块倾斜的直板上。设圆管与板间无相对滑动，问板倾角θ满足什么条件圆管才会沿板向上滚动？若圆管由静止开始沿板向上滚动，求圆管中心的速度v与路程s之间的关系。
图9.44 习题9.23图
【解】假设圆管中心沿斜面向上移动路程s，则系统所有力的功为
为使圆管上滚，∑Wi应该大于零，即
解得
图9.45
系统由静止开始运动，T1＝0。圆管中心沿斜面向上移动路程s时，以物块M为动点，平动坐标系随圆管中心一起运动，速度分析如图9.45所示，由运动学得
由纯滚动条件可知
于是有a
此时系统的动能为
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
【习题9.24】如图9.46所示的机构，直杆AB质量为m1，楔块C质量为m2，倾角为θ。不计各处摩擦，杆AB在自重作用下铅垂下降，推动楔块C作水平运动，求杆AB与楔块C的加速度。
图9.46 习题9.24图
图9.47
【解】假设系统从静止开始运动，研究系统从静止开始到杆AB下降s时的过程，应用动能定理。
系统初始动能T1＝0。
杆AB下降s时，以杆AB上的A点为动点，动系建在楔块上，速度合成关系如图9.47（a）所示，由几何关系得
加速度合成关系如图9.47（b）所示，由几何关系得
此时系统的动能为
系统在运动过程中，只有杆的重力做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
此即为杆的加速度，则楔块的加速度为
【习题9.25】如图9.48所示，质量为m、半径为R的均质圆柱体放在倾角为60°的斜面上。一端固定在点O的细绳缠绕在圆柱体上，绳段OA与斜面平行。已知圆柱体与斜面间的摩擦因数f＝1／3，求圆柱体轴心的加速度aC。
图9.48 习题9.25图
图9.49
【解】圆柱体的运动及受力分析如图9.49所示，速度瞬心为A点，v＝ωR，B点速度vB＝2v。
任意时刻，圆柱体的动能为
圆柱体在运动过程中，重力和摩擦力做功，功率为
则圆柱体轴心的加速度为
【习题9.26】如图9.50所示，将长为l，质量为m的两根均质杆AC与BC在C端铰接，垂直放置在水平面上。已知初始时刻系统静止，C端距水平面的高度为h，忽略一切摩擦，求两杆处于水平时C点的速度。
图9.50 习题9.26图
图9.51
【解】研究系统从静止运动到两杆水平时的过程，应用动能定理。
初始系统的动能T1＝0。
在运动过程中的任意时刻，系统的受力及运动分析如图9.51（a）所示。因∑Fx＝0，故系统水平方向动量守恒，又因初始静止，所以水平方向动量恒为零。由系统的对称性易知，点C的速度始终竖直向下；点A和B的速度始终沿水平方向。故点P1和P2分别为杆AC和BC的速度瞬心，两杆的角速度始终相等。
当两杆水平时，系统速度分析如图9.51（b）所示，由速度投影定理易知，点A和B的速度为零，即此时点A和B分别为杆AC和BC的速度瞬心。此时点C的速度大小设为v，两杆角速度设为ω，则有v＝lω，于是此时系统的动能为
系统在运动过程中，只有重力做功，有
由动能定理T2－T1＝∑Wi得
解得
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
