理论力学学习指导和习题精解中习题解答中的结果输出

【解】以点A为基点，将圆柱的平面运动分解为随基点A的平移和绕基点A的转动。

先求基点A的方程。坐标系中

图3.3　习题3.1图

改写成

上式积分

得

依题意，有

故圆柱的平面运动方程为

【习题3.2】杆AB的A端沿水平线以等速v运动，运动时杆恒与一半径为R的半圆周相切，如图3.4所示。如杆与水平线间的夹角为θ，以角θ表示杆的角速度。

图3.4　习题3.2图

图3.5

【解】如图3.5所示，杆AB做平面运动，A点速度沿水平方向，C点速度沿半圆周切线方向。以A为基点，点C速度分析可得

【习题3.3】如图3.6所示，两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同，v1＝6m／s，v2＝2m／s。齿条之间夹有一半径r＝0.5m的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O的速度。

图3.6　习题3.3图

图3.7

【解】运动分析如图3.7所示，由瞬心法（I为瞬心），有

【习题3.4】如图3.8所示为四连杆机构，连杆AB上固连一块三角板ABD。机构由曲柄O1A带动。已知：曲柄的角速度ω01A＝2rad／s；曲柄O1A＝0.1m，水平距离O1O2＝0.05m，AD＝0.05m；当O1A⊥O1O2时，AB平行于O1O2，且AD与AO1在同一直线上，角φ＝30°，求三角板ABD的角速度和点D的速度。

图3.8　习题3.4图

图3.9

【解】三角板ABD作平面运动，在图3.9所示位置，速度瞬心在点P，设三角板角速度为ωAB，有：

则

【习题3.5】如图3.10所示平面机构中，AB＝BD＝DE＝l＝300mm。在图示位置时，BD∥AE杆AB的角速度为ω＝5rad／s。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。

图3.10　习题3.5图

【解】（1）求杆DE的角速度。杆BD作平面运动，vB的大小为vB＝ωl＝1.5m／s，方向与AB垂直。

以B点为基点，应用速度合成定理，D点的速度可表示为

其中，D点绕B的转动速度vDB的方向与BD垂直，D点的速度vD与DE垂直。

图3.11

由速度合成矢量图（图3.11）可得：

（2）求杆BD中点C的速度。仍以B点为基点，C点的速度可表示为

其中vB大小和方向均为已知，vCB方向为BD杆垂直，大小为

由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC的方向恰好沿杆BD，大小为

【习题3.6】曲柄滑块机构如图3.12所示，曲柄OA以匀角速度ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在任意位置φ＝ωt时，求滑块B的速度。

图3.12　习题3.6图

图3.13

【解】（1）基点法。因为A点速度vA已知，故选A为基点。应用速度合成定理，B点的速度可表示为vB＝vA＋vBA，其中vA的大小为vA＝Rω，由速度合成矢量图（图3.13）可得：

因此可求得连杆AB的角速度为

（2）速度投影法。应用速度投影定理（图3.14），有

图3.14

图3.15　习题3.7图

图3.16

【解】由速度投影定理，杆AB上A，B点的速度在AB线上投影相等，即

摇杆CD绕C点作定轴转动

轮E沿水平面滚动，轮心E的速度沿水平方向，由速度投影定理，D、E两点的速度关系为

求得

图3.17　习题3.8图

图3.18

【解】先求出A点和B点的速度，有

以A点为基点分析C点的速度，有

把vC＝vB＋vCB式分别投影到x，y轴上，得：

得：

图3.19　习题3.9图

图3.20

【解】连杆AB作平面运动，其他构件作定轴转动，vA⊥O1A，vB⊥OB，故连杆AB的速度瞬心在AO1和BO延长线的交点P（图3.20）。设轮Ⅰ与轮Ⅱ的啮合点为C。此时△ABP为直角三角形，γ＝60°，由几何关系知：

曲柄OB的角速度

齿轮Ⅰ的角速度

【习题3.10】如图3.21所示机构中，矩形板用两根长0.15m的连杆悬挂，已知图示瞬时连杆AB的角速度为4rad／s，其方向为顺时针。试求：（1）板的角速度；（2）板中心G的速度；（3）板上F点的速度；（4）找出板中速度等于或小于0.15m／s的点。

图3.21　习题3.10图

图3.22

【解】（1）求板的角速度。如图3.22所示，板BDHF的瞬心在I点处，BI＝BD＝ID＝0.2m，

（2）求板中心G的速度

（3）求板上F点的速度

（4）求板中速度等于或小于0.15m／s的点

板中速度等于或小于0.15m／s的点在以瞬心I为圆心，半径为0.05m的圆内，圆周上速度为0.15m／s，圆内速度小于0.15m／s。

图3.23　习题3.11图

图3.24

图3.25

【解】曲柄OA上点A的速度和加速度为

以点A为基点分析杆AB上点B的速度与加速度，则点B的速度为

分别向轴n，轴t投影，得

代入式（1），可解得

因此滑块B的加速度为

【习题3.12】滚压机构的滚子沿水平面滚动而不滑动，已知曲柄OA长r＝10cm，以匀转速n＝30r／min转动。连杆AB长l＝17.3cm，滚子半径R＝10cm。求在图示位置时滚子的角速度及角加速度。

图3.26　习题3.12图

图3.27

图3.28

【解】vA＝ωr，连杆AB做平面运动，由速度投影定理：vA＝vBcos30°，滚子做纯滚动，则

其中：

图3.29　习题3.13图

图3.30(https://www.xing528.com)

图3.31

【解】（1）速度分析。AB杆瞬时平移，有：

将上式向AB方向投影，得

以B为基点，则有

【习题3.14】半径为R的轮子沿水平面滚动而不滑动，如图3.32所示。在轮上有圆柱部分，其半径为r。将线绕于圆柱上，线的B端以速度v和加速度a沿水平方向运动。求轮的轴心O的速度和加速度。

图3.32　习题3.14图

图3.33

图3.34

【解】因轮子沿水平面滚动而不滑动，所以轮上与地面接触点C的速度为0，且轮上C点的加速度沿水平方向的投影也为0。以轮心O为基点分析轮上点A及点C的运动。设轮心O的速度为vO，加速度为aO，则有

设轮子滚动的角速度为ω，角加速度为α，则有

将上式向水平轴投影，得

由于

故可解得

【习题3.15】如图3.35所示，齿轮Ⅰ在齿轮Ⅱ内滚动，其半径分别为r和R＝2r，曲柄OO1绕O轴以等角速度ωO转动，并带动行星齿轮Ⅰ，求该瞬时轮Ⅰ上瞬时速度中心C的加速度。

图3.35　习题3.15图

图3.36

【解】作平面运动的行星齿轮Ⅰ在图中所示位置的速度瞬心在其与定齿轮Ⅱ的啮合点C上，故vC＝0。

图3.37　习题3.16图

图3.38

图3.39

【解】（1）AB杆速度瞬心在O点

（2）以A为基点，有：

投影在O1B方向：

投影在垂直于O1B的方向：

图3.40　习题3.17图

【解】（1）以A为基点，分析杆AB上点B的速度和加速度，如图3.40（b）、（c）所示。

由于

由速度分析图得：

由加速度分析图得：

将上式分别向B的滑道及垂直于滑道的方向投影，有

由式（1）、式（2）解得

（2）以B为基点，分析杆BC上点C的速度和加速度，如图3.40（b）、（c）所示。由图3.40（b）得

由图3.40（c）得

【习题3.18】在如图3.41所示平面机构中，AC杆在导轨中以匀速v平动，通过铰链A带动AB杆沿导套O运动，导套O与杆AC的距离为l。图示瞬时AB杆与AC杆的夹角为φ＝60°，求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。

图3.41　习题3.18图

图3.42

【解】以O点为坐标原点建立如图3.42所示的直角坐标系，则A点的x坐标为xA＝lcotφ

再将其两端对时间求导，得

角加速度

【习题3.19】在如图3.43所示的四边形机构中，AB＝CD＝400mm，BC＝AD＝200mm，曲柄AB以匀角速度ω＝3rad／s绕A点转动，求CD垂直于AD时BC杆的角速度及角加速度。

图3.43　习题3.19图

图3.44

【解】在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2，

在△ABC中，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CBcos∠ABC

AD＝BC，AB＝CD，这样cos∠ABC＝0，有AB⊥BC，由此可知：△ADC≅△ABC

经计算，有

由BC作平面运动得：

上式在y轴上的投影为：

上式在x轴上的投影为：

【习题3.20】如图3.45所示，轮O在水平面上滚动而不滑动，轮心以匀速vO＝0.2m／s运动。轮缘上固连销钉B，此销钉在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕O1轴转动。已知：轮的半径R＝0.5m，在图示位置时，AO1是轮的切线，摇杆与水平面间的交角为60°。求摇杆在该瞬时的角速度和角加速度。

图3.45　习题3.20图

【解】（1）运动分析轮O上点B为动点，动系固结于O1A；绝对运动为平面曲线（摆线），相对运动沿O1A直线，牵连运动为绕O1定轴转动。

（2）速度分析，如图3.45（b）所示。

（3）加速度分析，如图3.45（c）所示。

①轮O作平面运动，以O为基点，aO＝0，α＝0

②轮O上点B为动点，动系固结于O1A：

上式向aB方向投影，得

杆O1A角加速度

图3.46　习题3.21图

【解】（1）运动分析。BC上B为动点，动系固结于OA；绝对运动为水平直线，相对运动沿直线OA，牵连运动为绕O定轴转动。

（2）速度分析。

AD作平面运动，用速度投影定理，得

套筒D相对杆BC速度为

找AD的瞬心P，得

（3）加速度分析。

将上式向aC方向投影，得

以A为基点：

套筒D相对杆BC的加速度

【习题3.22】如图3.47所示平面机构中，轮沿地面作纯滚动，通过铰接的三角形板与套筒A铰接，并带动直角杆EGH作水平移动。已知：轮半径为r，O1B＝r，三角形各边长为2r，轮心速度为vO。在图示位置时O1B杆水平，B，D，O三点在同一铅垂线上。求该瞬时EGH杆的速度。

图3.47　习题3.22图

【解】运动机构分析表明，三角形ABD及轮O均作平面运动，由vB的方向，vD的方向确定出三角形ABD的速度瞬心B，轮O的速度瞬心I，各点速度如图3.47（b）所示，有

以A为动点，动系固结在直角杆EGH上，动点A的速度图如图3.47（b）所示，由速度合成定理：va＝vr＋ve沿水平方向投影，有

所以vAa＝2rωABD＝2vO，ve＝vO，即直角杆EGH的速度。

【习题3.23】如图3.48所示平面系统，三角形物块以速度v、加速度a向右平移，倾角为θ。BD杆置于铅垂滑道内与AB杆铰接，AB杆长l，位置水平。求图示瞬时AB杆的角加速度。

图3.48　习题3.23图

图3.49

【解】动点为D，动系为三角形物块，牵连运动为平动。

研究AB杆，以B为基点，有

【习题3.24】如图3.50所示系统，与OA杆铰接的套筒A带动BD杆沿水平滑道移动，BD杆与做纯滚动的轮铰接。OA杆与轮半径r等长，倾角为φ，其角速度ω0为常量。求轮瞬心C点的加速度。

图3.50　习题3.24图

图3.51

【解】轮D做纯滚动，则