【习题1.1】设动点从x轴上O点，按x＝v0t－2t2的规律运动，求动点速度为零的位置，动点回到O点时其速度的大小。
【习题1.2】一点按x＝t3－12t＋2的规律沿直线运动（其中t以s计，x以m计）。试求：（1）最初3s内的位移；（2）改变运动方向的时刻和所在位置；（3）最初3s内经过的路程；（4）t＝3s时的速度和加速度；（5）点在哪段时间作加速运动，哪段时间作减速运动？
【解】（1）将t＝3s代入x＝t3－12t＋2＝7m（求得最初3s内位移）
当速度为零时，有：3t2－12＝0，t＝2s（即经过2s后速度为零）
x＝23－12×2＋2＝－14m，此时位置坐标x＝－14m
（3）在开始的2s内：
t＝0时，x＝2m
t＝2s时，x＝－14，路程为16m
t＝3s时，x＝－7，即2s至3s的路程为7m，总路程为23m
当t＝3s时，v＝3×32－12＝15m／s
当t＝3s时，加速度为18m／s2
（5）因为加速度a＝6t＞0，始终为x轴的正向。速度前2s时与加速度方向相反，速度从－12到0，为减速运动；2s以后，速度与加速度方向相同，为加速运动。
【习题1.3】分析下列论述是否正确：
（1）点作曲线运动时，加速度的大小等于速度的大小对时间的导数。
（2）点作直线运动时，法向加速度等于零。因此，若已知某瞬时点的法向加速度等于零，则该点作直线运动。
（3）点作曲线运动时，即使加速度的方向始终与速度方向垂直，点也不一定作匀速圆周运动。
【解】（1）错误。曲线运动时加速度有法向加速度和切向加速度两个分量，切向加速度的大小才是速度大小对时间的导数。
（2）错误。法向加速度在切向速度为零时也为零。
（3）正确。运动轨迹不一定是圆周。
【习题1.4】设点作曲线运动，试问如图1.3所示的各种速度与加速度情形，哪些是可能的，哪些是不可能的？为什么？
图1.3 习题1.4图
【解】（a）可能，速度方向与切向加速度方向相反，减速运动；
（b）不可能，法向加速度为零的条件是速度为0，或者作直线运动；
（c）不可能，法向加速度的方向要指向曲率中心；
（d）可能，速度为0的情况下法向加速度也为0，点只有切向加速度；
（e）可能，加速度为0，点保持匀速直线运动；
（f）可能，只有法向加速度，作匀速曲线运动。
【习题1.5】已知动点的运动方程为y＝bt，φ＝ct，b和c均为常数，如图1.4所示。试分别用直角坐标和极坐标写出点的轨迹方程。
图1.4 习题1.5图
【习题1.6】如图1.5所示，杆AB长l，以等角速度ω绕点B转动，其转动方程为φ＝ωt。而与杆连接的滑块B按规律s＝α＋bsinωt沿水平一作谐振动。其中a和b均为常数。求点A的轨迹。
【解】应用直角坐标法，点A的运动方程为
图1.5 习题1.6图
图1.6 习题1.7图
【习题1.7】如图1.6所示，从水面上方高h＝20m的岸上一点A，用长40m的绳系住小船。设以等速u＝3m／s拉绳。使船靠岸。问在5s末船的速度多大？在5s内船走了多少路程？5s以后，岸上的绳头向左移动了：
5s后河面上的绳索缩短为：
此时小船距离岸边：
5s小船移动的距离是：
小船的运动方程为：x2＝（40－ut）2－h2；
方程两边对时间求导，得：2xx·＝－2u（40－ut）；
当t＝5s时，x＝15，此时小船的速度为：
图1.7 习题1.8图
【习题1.8】一根杆子穿过可绕定点B转动的套管，杆的A端以匀速c沿固定水平直线Ox滑动。求杆上M点的运动方程和轨迹方程。设AM＝OB＝h。
【解】（1）求M点的运动方程：
（2）求M点的轨迹方程：
【习题1.9】曲柄OB的转动规律为φ＝2t，它带动杆AD，使杆AD上的A点沿水平轴Ox运动，C点沿铅直轴
Oy运动，如AB＝OB＝BC＝CD＝12cm，求D点的轨迹方程，求并当φ＝45°时杆上D点的速度。
【解】D点的运动方程：
联立上述两式，消去t可得D点的轨迹方程如下：
图1.8 习题1.9图
D点的速度：
【习题1.10】刨床急回机构如图所示。r，h，H均为已知，曲柄OA的转动规律为φ＝ωt（ω为常数）。求滑块C沿水平轨道滑动的速度和加速度。
图1.9 习题1.10图
【解】以O1点为原点建立直角坐标系，滑块C的位置有x确定，根据三角比关系有：
C点的加速度为：
【习题1.11】若三级火箭在A点脱离时，其速度为u＝15000km／h，脱离时速度与水平线夹角为45°，然后在没有推力作用的情况下飞行到B点，到B点后发动机才打开。这时轨道与水平一的夹角为20°。在从A点到B点这段时间间隔内，引力加速度的大小和方向均可认为不变，可取g＝9m／s2。求从A点到B点所需的时间t（这个时间对设计点火控制系统时有用），并求在这过程中高度的增量h。
图1.10 习题1.11图
【解】在任一瞬时第三级火箭的加速度在x，y方向上的投影为：
积分一次后，可得：
选第三级火箭刚脱离时的点A为初瞬时点，则有t＝0时：
把这个初始条件代入上式，可得：
设第三级火箭飞行到B点时速度为v，则有：
因此可得：
上升高度：
【习题1.12】杆AB在半径等于r的固定圆环半面中以匀速度u沿垂直于杆本身的方向移动。求同时套在杆与圆环上的小环M的自然形式的运动方程及其速度。设初瞬时，小环M在大环的最高点M。以后向右运动。
【解】由自然法有：s＝M0M＝rφ
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所以小环的自然运动方程为：
其速度为：
【习题1.13】一点M由静止开始作匀速圆周运动。试证明该点的全加速度和切向速度的夹角α与经过的那段圆弧对应的圆心角β之间存在如下关系：tanα＝2β。v＝at。
图1.11 习题1.12图
图1.12 习题1.13图
动点A的法向加速度可表示为：
动点A的全加速度与切线间的夹角α可表示为：
证毕。
图1.13 习题1.14图
图1.14 习题1.15图
直角坐标方程：
【习题1.15】如图1.14所示，半圆形凸轮以等速u＝1cm／s沿水平方向右运动，而使活塞杆AB沿铅直方向运动。当运动开始时，活塞杆A端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径R＝8cm，求活塞B相对于地面和相对于凸轮的运动方程和速度。
【解】（1）A相对于地面运动，直角坐标系固连在地面上。则A的运动方程为：
A的速度为：
A相对于凸轮的运动为圆周运动，其自然方程为：
图1.15 习题1.16图
【证明】方法（1）：设全加速度为a，法向加速度为an，依题意有矢量关系图：
【习题1.17】炮弹的发射角为α，初速度为v0，空气阻力略去不计。试求炮弹在其速度与水平线成θ角处的法向加速度、切向加速度以及轨迹在该点的曲率半径。
【解】由题意有矢量关系图，根据几何关系有：
又因a＝g，所以有：
因为vx＝v0cosα＝vcosθ
图1.16 习题1.17图
【习题1.18】已知某动点用极坐标表示的运动方程为：ρ＝3＋4t2，φ＝1.5t2。求φ＝60°时点的速度与加速度。ρ的单位为m，φ的单位为rad，t的单位为s。
【解】
【习题1.19】如图1.17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆有一圆弧形滑道，其半径R＝100mm，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA＝100mm，以等角速度ω＝4rad／s绕轴O转动。求导杆BC的运动规律，以及当曲柄与水平线间的交角为30°时，导杆BC速度和加速度。
【解】t瞬时：
滑块的x坐标：
图1.17 习题1.19图
O1的坐标x
图1.18 习题1.20图
φ＝30°时
【习题1.20】如图1.18所示，曲柄CB以等角速度ω0绕轴C转动，其转动方程为φ＝ω0t。滑块B带动摇杆OA绕轴O转动。设OC＝h，CB＝r，求摇杆的转动方程。
【解】由于rsinφ＝（h－rcosφ）tanθ
其OA杆的转动方程为：
【习题1.21】如图1.19所示，纸盘由厚度为a的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v拉纸条。求纸盘的角加速度（以半径r的函数表示）。
图1.19 习题1.21图
【解】纸盘作定轴转动，当纸盘转过2πrad时半径减小a，设纸盘转过dθ时半径增加dr，则纸盘的角速度为：
又rω＝v，两边对时间t求导：
即得纸盘的角速度：
图1.20 习题1.22图
图1.21 习题1.23图
【解】AB平移，所以轮B上与轮2接触点D处：
因为齿1，轮2啮合，所以轮2上点D速度与轮1上点D速度相同，切向加速度也相同：
【习题1.23】如图1.21所示，飞轮绕固定轴O转动，在运动过程中，其轮缘上任意一点的全加速度与轮半径的交角恒为60°。当运动开始时，其转角φ0等于零，其角速度为ω0，求飞轮的转动方程，以及角速度和转角间的关系。
【解】设轮缘上1点M的全加速度为a，切向加速度at＝rα，法向加速度an＝ω2r
联立上面两式得：
分离变量后，两边积分得：
又因为：
所以有：
得飞轮的转动方程为：
即：
飞轮角速度与转角的关系为：
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