均值E(y0|x0)的置信区间-概率论与数理统计

根据变量(X,Y)的n 对样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),拟合Y 对X 的线性回归方程假定通过检验,该回归方程线性显著,设当自变量X=x0 时,因变量Y 的观测值为y0,则在线性回归模型(10.1.2)和模型(10.1.3)的假定下,

于是在x0 处Y 的均值E(y0|x0)=β0+β1x0,而在x0 处,Y 的回归值为

其中由式(10.2.4)给出。很自然地,取 作为E(y0|x0)=β0+β1x0 的估计值。由于均是y1,y2,…,yn 的线性组合,因此 是y1,y2,…,yn 的线性组合。而y1,y2,…,yn 相互独立,且yi～N(β0+β1xi,σ2),易证

因此

由式(10.2.13)和式(10.2.14)得

其中s2 是σ2 的无偏估计。由性质10.2.3知 相互独立,因此,独立,从而根据式(10.4.4)和式(10.4.5)得(https://www.xing528.com)

则有

从而E(y0|x0)的100(1-α)%置信区间为

例10.4.1 设在例10.1.1的某类企业中,现有若干个企业均计划下个月产量为51台,求其单位成本均值的95%置信区间。

解 经计算得,由式(10.4.7)及表10.3.2得,查表得t0.025(28)=2.0484,于是

由式(10.2.8)得,由式(10.4.7)得当x0=51时,单位成本均值E(y0|x0)的置信区间为(141.8393,145.0467)①。